示例

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

3

$3$ 。

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

解题步骤 2

对

x^{2} + 12 x

$x^{2} + 12 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = 12

$b = 12$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{12}{2 \cdot 1}

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

约去

12

$12$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从

12

$12$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{6}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4

用

$6$ 除以

$1$ 。

$d = 6$

解题步骤 2.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$e = 0 - \frac{144}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用

$144$ 除以

$4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

解题步骤 2.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$36$ 。

$e = 0 - 36$

解题步骤 2.4.2.2

从

$0$ 中减去

$36$ 。

$e = - 36$

解题步骤 2.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

${(x + 6)}^{2} - 36$ 。

${(x + 6)}^{2} - 36$

解题步骤 3

在方程

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ 中，用

${(x + 6)}^{2} - 36$ 代替

$x^{2} + 12 x$ 。

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上

$36$ 的方法来将

$- 36$ 移到等式右边。

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

解题步骤 5

对

$- y^{2} - 12 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

$- 12$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从

$- 12$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

移动

$\frac{- 6}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 6$

解题步骤 5.3.2.2

将

$- 1 \cdot - 6$ 重写为

$- - 6$ 。

$d = - - 6$

解题步骤 5.3.2.3

将

$- 1$ 乘以

$- 6$ 。

$d = 6$

解题步骤 5.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对

$- 12$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用

$144$ 除以

$- 4$ 。

$e = 0 - - 36$

解题步骤 5.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$- 36$ 。

$e = 0 + 36$

解题步骤 5.4.2.2

将

$0$ 和

$36$ 相加。

$e = 36$

解题步骤 5.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$- {(y + 6)}^{2} + 36$ 。

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

解题步骤 6

在方程

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ 中，用

$- {(y + 6)}^{2} + 36$ 代替

$- y^{2} - 12 y$ 。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上

$36$ 的方法来将

$36$ 移到等式右边。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

解题步骤 8

化简

$3 + 36 - 36$ 。

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解题步骤 8.1

将

$3$ 和

$36$ 相加。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

解题步骤 8.2

从

$39$ 中减去

$36$ 。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

解题步骤 9

将每一项除以

$3$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

$1$ 。

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

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