示例

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b - c \\ a - b + c \end{array}]$

解题步骤 1

该转换定义了从 $ℝ^{3}$ 到 $ℝ^{3}$ 的映射。若要证明该转换是线性转换，必须证明该转换满足标量乘法、加法和零向量。

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

解题步骤 2

首先证明变换将保留此性质。

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

解题步骤 3

建立两个矩阵以验证加法性质仍然存在于 $S$ 。

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

解题步骤 4

将两个矩阵相加。

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 5

对矢量进行转换。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 6

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 6.1

重新排列 $x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ 。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 6.2

重新排列 $x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ 。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 6.3

重新排列 $x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ 。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 7

通过变量分组，将结果分解为两个矩阵。

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

解题步骤 8

变换的加法性质有效。

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

解题步骤 9

为保证变换为线性变换，必须支持标量乘法。

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

解题步骤 10

从每一元素对 $p$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

将 $p$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

解题步骤 10.2

对矢量进行转换。

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

解题步骤 10.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 10.3.1

重新排列 $(p a) - (p b) - (p c)$ 。

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

解题步骤 10.3.2

重新排列 $(p a) - (p b) - (p c)$ 。

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

解题步骤 10.3.3

重新排列 $(p a) - (p b) + p c$ 。

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

解题步骤 10.4

对矩阵的每一个元素进行因式分解。

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解题步骤 10.4.1

通过乘以 $a p - 1 b p - 1 c p$ 对元素 $0, 0$ 进行因式分解。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

解题步骤 10.4.2

通过乘以 $a p - 1 b p - 1 c p$ 对元素 $1, 0$ 进行因式分解。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

解题步骤 10.4.3

通过乘以 $a p - 1 b p + c p$ 对元素 $2, 0$ 进行因式分解。

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

解题步骤 11

线性转换的第二性质已保留在此转换中。

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

解题步骤 12

为保证变换为线性变换，必须保留零向量。

$S (0) = 0$

解题步骤 13

对矢量进行转换。

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

解题步骤 14

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 14.1

重新排列 $(0) - (0) - (0)$ 。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

解题步骤 14.2

重新排列 $(0) - (0) - (0)$ 。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

解题步骤 14.3

重新排列 $(0) - (0) + 0$ 。

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 15

零向量在该转换中得到保持。

$S (0) = 0$

解题步骤 16

因为不满足线性变换的所有三个性质，所以此变换不是线性变换。

线性变换

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