示例

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

解题步骤 1

对 $x^{2} + 4 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 2)}^{2} - 4$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ 中，用 ${(x + 2)}^{2} - 4$ 代替 $x^{2} + 4 x$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

解题步骤 4

对 $- y^{2} - 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 0$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

移动 $\frac{- 4}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 4$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 4$ 重写为 $- - 4$ 。

$d = - - 4$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$d = 4$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

解题步骤 4.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 16$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$e = 0 + 16$

解题步骤 4.4.2.2

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$e = 16$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(y + 4)}^{2} + 16$ 。

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ 中，用 $- {(y + 4)}^{2} + 16$ 代替 $- y^{2} - 8 y$ 。

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $16$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

解题步骤 7

化简 $0 + 4 - 16$ 。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 和 $4$ 相加。

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

解题步骤 7.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

解题步骤 8

反转方程的每一项，使其右边的项为正。

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

解题步骤 9

将每一项除以 $12$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

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