示例

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

解题步骤 1

将 $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ 写为等式。

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

解题步骤 2

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1

对 $- x^{2} - 5 x - 5$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

解题步骤 2.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$d = \frac{- 5}{- 2}$

解题步骤 2.1.3.2.2

将两个负数相除得到一个正数。

$d = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.4

乘以 $- - \frac{25}{4}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

解题步骤 2.1.4.2.1.4.2

将 $\frac{25}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.2

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.5.1

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.5.2

将 $- 20$ 和 $25$ 相加。

$e = \frac{5}{4}$

解题步骤 2.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ 。

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 2.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 3

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

解题步骤 4

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 5

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

解题步骤 6

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 6.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{5}{2}, 1)$

解题步骤 8

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = - \frac{5}{2}$

解题步骤 9

求准线。

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解题步骤 9.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 9.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 10

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

焦点： $(- \frac{5}{2}, 1)$

对称轴： $x = - \frac{5}{2}$

准线： $y = \frac{3}{2}$

解题步骤 11

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