示例

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1

对 $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 。

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解题步骤 1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 + 4 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.6

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 1.1.3.7

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

解题步骤 1.1.5

用 $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

解题步骤 1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

解题步骤 1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

解题步骤 1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x - 6$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

解题步骤 1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

解题步骤 1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 5 x + 6$

解题步骤 1.1.6

将 $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 书写为因数的集合。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1.2.2

去掉多余的括号。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 3

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 4

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 4.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$f (x) = x - 1$

解题步骤 5

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x + 2, x + 3$

解题步骤 6

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于 $0$ 并求解，然后代回到 $x - 1$ 中。

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解题步骤 6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.3

代入 $- 2$ 替换 $x - 1$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$- 2 - 1$

解题步骤 6.3.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 6.4

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 6.5

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6.6

代入 $- 3$ 替换 $x - 1$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.6.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$- 3 - 1$

解题步骤 6.6.2

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 6.7

图像中的空心点是指被约去的因式等于 $0$ 的点。

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

解题步骤 7

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