三角学示例

3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使

u = \cos (x)

$u = \cos (x)$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

\cos (x)

$\cos (x)$ 。

3 u^{2} + 2 u - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3

$a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为

b = 2

$b = 2$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从

2 u

$2 u$ 中分解出因数

2

$2$ 。

3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把

2

$2$ 重写为

- 1

$- 1$ 加

3

$3$

3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数

3 u - 1

$3 u - 1$ 来因式分解多项式。

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用

\cos (x)

$\cos (x)$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 3

将

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解

x

$x$ 的

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$

解题步骤 3.2.2

将

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以

3

$3$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以

3

$3$ 。

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用

\cos (x)

$\cos (x)$ 除以

1

$1$ 。

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = \arccos (\frac{1}{3})

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

计算

\arccos (\frac{1}{3})

$\arccos (\frac{1}{3})$ 。

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

解题步骤 3.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

2 π

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

解题步骤 3.2.6

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

去掉圆括号。

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

解题步骤 3.2.6.2

化简

2 (3.14159265) - 1.23095941

$2 (3.14159265) - 1.23095941$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

将

2

$2$ 乘以

3.14159265

$3.14159265$ 。

x = 6.2831853 - 1.23095941

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

解题步骤 3.2.6.2.2

从

6.2831853

$6.2831853$ 中减去

1.23095941

$1.23095941$ 。

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

解题步骤 3.2.7

求

\cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 3.2.8

\cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 4

将

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 4.1

将

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ 设为等于

0

$0$ 。

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

x

$x$ 的

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

\cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

x

$x$ 。

x = \arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ 的准确值为

π

$π$ 。

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

解题步骤 4.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从

2 π

$2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

解题步骤 4.2.5

从

2 π

$2 π$ 中减去

π

$π$ 。

x = π

$x = π$

解题步骤 4.2.6

求

\cos (x)

$\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 4.2.7

\cos (x)

$\cos (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

解题步骤 5

最终解为使

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

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