三角学示例

\sin (75)

$\sin (75)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中，

75

$75$ 可以被拆分为

30 + 45

$30 + 45$ 。

\sin (30 + 45)

$\sin (30 + 45)$

解题步骤 2

使用正弦的和公式化简该表达式。该公式表述为

\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 。

\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 3

去掉圆括号。

\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

\sin (30)

$\sin (30)$ 的准确值为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)

$\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 4.2

\cos (45)

$\cos (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 4.3

乘以

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (30) \sin (45)

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 4.3.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (30) \sin (45)

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (30) \sin (45)$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (30) \sin (45)

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (30) \sin (45)$

解题步骤 4.4

\cos (30)

$\cos (30)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)$

解题步骤 4.5

\sin (45)

$\sin (45)$ 的准确值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.6

乘以

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.2

使用根数乘积法则进行合并。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.3

将

3

$3$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.6.4

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

小数形式：

0.96592582 \dots

$0.96592582 \dots$

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