三角学示例

$\sin (5 x)$

解题步骤 1

展开 $\sin (5 x)$ 的好方法是利用棣美弗定理 $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ 。当 $r = 1$ 时， $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 。

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

解题步骤 2

使用二项式定理来展开 $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ 的右边。

展开： ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{5}$

解题步骤 3

使用二项式定理。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) (i \sin (x)) + 10 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cos^{3} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot i^{2} \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot - 1 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.4

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.5

对 $i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot i^{3} \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.7

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.8

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.9

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.10

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.11

对 $i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.12

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 4.1.12.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.12.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.12.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (1 \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.13

将 $\sin^{4} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i \sin (x))}^{5}$

解题步骤 4.1.14

对 $i \sin (x)$ 运用乘积法则。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{5} \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.1.15

因式分解出 $i^{4}$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{4} i \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.1.16

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 4.1.16.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.1.16.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(- 1)}^{2} i \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.1.16.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + 1 i \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.1.17

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

解题步骤 4.2

将 $\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$ 中的因式重新排序。

$\cos^{5} (x) + 5 i \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

解题步骤 5

提取虚部等于 $\sin (5 x)$ 的表达式。去掉虚数 $i$ 。

$\sin (5 x) = 5 \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + \sin^{5} (x)$

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