三角学示例

(3, 8)

$(3, 8)$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点

(0, 0)

$(0, 0)$ 和

(3, 8)

$(3, 8)$ 之间）之间的

sin (θ)

$\sin (θ)$ ，请画出

(0, 0)

$(0, 0)$ 、

(3, 0)

$(3, 0)$ 和

(3, 8)

$(3, 8)$ 三点之间的三角形。

取反：

8

$8$

邻边：

3

$3$

解题步骤 2

使用勾股定理

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{9 + {(8)}^{2}}

$\sqrt{9 + {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.2

对

8

$8$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{9 + 64}

$\sqrt{9 + 64}$

解题步骤 2.3

将

9

$9$ 和

64

$64$ 相加。

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$

解题步骤 3

因为

sin (θ) = \frac{取反}{斜边}

$\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以

sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{73}}

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{73}}$ 。

\frac{8}{\sqrt{73}}

$\frac{8}{\sqrt{73}}$

解题步骤 4

化简

sin (θ)

$\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将

\frac{8}{\sqrt{73}}

$\frac{8}{\sqrt{73}}$ 乘以

\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 。

sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$

解题步骤 4.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将

\frac{8}{\sqrt{73}}

$\frac{8}{\sqrt{73}}$ 乘以

\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}$

解题步骤 4.2.2

对

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}$

解题步骤 4.2.3

对

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1 + 1}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.2.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{2}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{2}}$

解题步骤 4.2.6

将

{\sqrt{73}}^{2}

${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为

73

$73$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ 重写成

73^{\frac{1}{2}}

$73^{\frac{1}{2}}$ 。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{{(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$

解题步骤 4.2.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{73}}{73} \approx 0.93632917$

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