三角学示例

$f (x) = 4 \sec (4 x)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \sec (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = s e c (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 的基本周期求 $y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线。将 $y = a \sec (b x + c) + d$ 的正割函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线出现的位置。

$4 x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

将 $4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 1.2.3.2

乘以 $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3

将正割函数 $4 x$ 的变量设为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$4 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4

将 $4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 1.4.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 1.5

$y = 4 \sec (4 x)$ 的基期将出现在 $(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ ，其中 $- \frac{π}{8}$ 和 $\frac{3 π}{8}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 1.6.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 1.7

$y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{π}{8}$ 、 $\frac{3 π}{8}$ 和每一个 $\frac{π n}{4}$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

解题步骤 1.8

正割只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \sec (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数 $s e c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求 $4 \sec (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{0}{4}$

解题步骤 5.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

相移： $0$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 8

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