三角学示例

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 1

使用正切的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\tan (x) = \frac{对边}{相邻}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的斜边。由于已知相对边和相邻边，所以可以使用勾股定理求第三条边。

$斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$斜边 = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

斜边 $= \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

斜边 $= \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

斜边 $= \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

斜边 $= \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

斜边 $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.1

约去公因数。

斜边 $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4.2

重写表达式。

斜边 $= \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.5

计算指数。

斜边 $= \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

斜边 $= \sqrt{3 + 1}$

解题步骤 4.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

斜边 $= \sqrt{4}$

解题步骤 4.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

斜边 $= \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

斜边 $= 2$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (x)$ 的值。

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (x)$ 的值。

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7

求余切值。

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解题步骤 7.1

使用余切的定义求 $\cot (x)$ 的值。

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\cot (x) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3

化简 $\cot (x)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cot (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

求正割值。

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解题步骤 8.1

使用正割的定义求 $\sec (x)$ 的值。

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\sec (x) = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 8.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$\sec (x) = - 2$

解题步骤 9

求余割值。

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解题步骤 9.1

使用余割的定义求 $\csc (x)$ 的值。

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\csc (x) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3

化简 $\csc (x)$ 的值。

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解题步骤 9.3.1

将负号移到分数的前面。

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - 2$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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