三角学示例

${(z - 3)}^{4} = 2 i$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $z - 3$ 。

$u^{4} = 2 i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = 0$ 和 $b = 2$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

解题步骤 7

因为自变量无定义且 $b$ 为正数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{π}{2}$ 和 $| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9

使用三角函数替换等式的右边。

$u^{4} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 10

使用棣莫弗定理求 $u$ 方程。

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 11

使三角形式的模数等于 $r^{4}$ ，求 $r$ 的值。

$r^{4} = 2$

解题步骤 12

求解 $r$ 的方程。

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解题步骤 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{2}$

解题步骤 12.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \sqrt[4]{2}$

解题步骤 12.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 12.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 13

求 $r$ 的近似值。

$r = 1.18920711$

解题步骤 14

求 $θ$ 的可能值。

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ 和 $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

解题步骤 15

求使方程 $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 成立的 $θ$ 的所有可能取值。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

解题步骤 16

求满足 $r = 0$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

解题步骤 17

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 17.1

化简。

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解题步骤 17.1.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 17.1.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

解题步骤 17.1.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

解题步骤 17.1.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 17.2

将 $4 θ = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 17.2.1

将 $4 θ = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 17.2.2

化简左边。

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解题步骤 17.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 17.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 17.2.3

化简右边。

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解题步骤 17.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 17.2.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 17.2.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 17.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$θ = \frac{π}{8}$

解题步骤 18

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = 2 i$ 的解。

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

$\cos (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 19.1.1.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.3

因为余弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5

化简 $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 19.1.1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.2

在公分母上合并分子。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.4

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 19.1.1.5.4.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.5

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.6

化简分母。

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解题步骤 19.1.1.5.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.1.5.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

解题步骤 19.1.2

$\sin (\frac{π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 19.1.2.1

将 $\frac{π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

解题步骤 19.1.2.2

使用正弦半角公式。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

解题步骤 19.1.2.3

由于正弦在第一象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 19.1.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 19.1.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 19.1.2.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 19.1.2.4.3

在公分母上合并分子。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 19.1.2.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

解题步骤 19.1.2.4.5

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 19.1.2.4.5.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

解题步骤 19.1.2.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

解题步骤 19.1.2.4.6

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

解题步骤 19.1.2.4.7

化简分母。

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解题步骤 19.1.2.4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

解题步骤 19.1.2.4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

解题步骤 19.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 19.2

化简项。

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解题步骤 19.2.1

在公分母上合并分子。

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 19.2.2

组合 $1.18920711$ 和 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

解题步骤 19.2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 19.3

分离分数。

$u_{0} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

解题步骤 19.4

化简表达式。

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解题步骤 19.4.1

用 $1.18920711$ 除以 $2$ 。

$u_{0} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

解题步骤 19.4.2

用 $\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 除以 $1$ 。

$u_{0} = 0.59460355 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 19.5

运用分配律。

$u_{0} = 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 19.6

将 $0.59460355$ 乘以 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 。

$u_{0} = 1.09868411 + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 19.7

将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{0} = 1.09868411 + 0.45508986 i$

解题步骤 20

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{0} = 3 + 1.09868411 + 0.45508986 i$

解题步骤 21

求满足 $r = 1$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

解题步骤 22

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 22.1

化简。

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解题步骤 22.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 22.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 22.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 22.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 22.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

解题步骤 22.1.6

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 22.2

将 $4 θ = \frac{5 π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 22.2.1

将 $4 θ = \frac{5 π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

解题步骤 22.2.2

化简左边。

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解题步骤 22.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

解题步骤 22.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

解题步骤 22.2.3

化简右边。

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解题步骤 22.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 22.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 22.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 22.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$θ = \frac{5 π}{8}$

解题步骤 23

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = 2 i$ 的解。

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 24.1

化简每一项。

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解题步骤 24.1.1

$\cos (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 24.1.1.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 24.1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.4

在公分母上合并分子。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 24.1.1.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 24.1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

解题步骤 24.1.2

$\sin (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 24.1.2.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

解题步骤 24.1.2.2

使用正弦半角公式。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 24.1.2.3

因为正弦在第二象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 24.1.2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 24.1.2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.5

在公分母上合并分子。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

解题步骤 24.1.2.4.7

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 24.1.2.4.7.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

解题步骤 24.1.2.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

解题步骤 24.1.2.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

解题步骤 24.1.2.4.9

化简分母。

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解题步骤 24.1.2.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

解题步骤 24.1.2.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

解题步骤 24.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 24.2

化简项。

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解题步骤 24.2.1

在公分母上合并分子。

$u_{1} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 24.2.2

组合 $1.18920711$ 和 $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

解题步骤 24.2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 24.3

分离分数。

$u_{1} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

解题步骤 24.4

化简表达式。

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解题步骤 24.4.1

用 $1.18920711$ 除以 $2$ 。

$u_{1} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

解题步骤 24.4.2

用 $- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 除以 $1$ 。

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 24.5

运用分配律。

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 24.6

乘以 $0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 24.6.1

将 $- 1$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{1} = - 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 24.6.2

将 $- 0.59460355$ 乘以 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 。

$u_{1} = - 0.45508986 + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 24.7

将 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{1} = - 0.45508986 + 1.09868411 i$

解题步骤 25

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{1} = 3 - 0.45508986 + 1.09868411 i$

解题步骤 26

求满足 $r = 2$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

解题步骤 27

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 27.1

化简。

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解题步骤 27.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

解题步骤 27.1.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 27.1.3

组合 $4 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 27.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 27.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

解题步骤 27.1.6

将 $π$ 和 $8 π$ 相加。

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

解题步骤 27.2

将 $4 θ = \frac{9 π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 27.2.1

将 $4 θ = \frac{9 π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

解题步骤 27.2.2

化简左边。

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解题步骤 27.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

解题步骤 27.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

解题步骤 27.2.3

化简右边。

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解题步骤 27.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 27.2.3.2

乘以 $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 27.2.3.2.1

将 $\frac{9 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 27.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$θ = \frac{9 π}{8}$

解题步骤 28

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = 2 i$ 的解。

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 29.1

化简每一项。

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解题步骤 29.1.1

$\cos (\frac{9 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 29.1.1.1

将 $\frac{9 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.3

由于余弦在第三象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 29.1.1.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.4

在公分母上合并分子。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.6

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 29.1.1.4.6.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.8

化简分母。

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解题步骤 29.1.1.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.1.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

解题步骤 29.1.2

$\sin (\frac{9 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 29.1.2.1

将 $\frac{9 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

解题步骤 29.1.2.2

使用正弦半角公式。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.3

由于正弦在第三象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 29.1.2.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.4

在公分母上合并分子。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.6

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 29.1.2.4.6.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

解题步骤 29.1.2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

解题步骤 29.1.2.4.7

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

解题步骤 29.1.2.4.8

化简分母。

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解题步骤 29.1.2.4.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

解题步骤 29.1.2.4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

解题步骤 29.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 29.2

化简项。

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解题步骤 29.2.1

在公分母上合并分子。

$u_{2} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 29.2.2

组合 $1.18920711$ 和 $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

解题步骤 29.2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 29.3

分离分数。

$u_{2} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

解题步骤 29.4

化简表达式。

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解题步骤 29.4.1

用 $1.18920711$ 除以 $2$ 。

$u_{2} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

解题步骤 29.4.2

用 $- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 除以 $1$ 。

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 29.5

运用分配律。

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}}) + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 29.6

乘以 $0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 29.6.1

将 $- 1$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{2} = - 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 29.6.2

将 $- 0.59460355$ 乘以 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 。

$u_{2} = - 1.09868411 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 29.7

乘以 $0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 29.7.1

将 $- 1$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

解题步骤 29.7.2

将 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $- 0.59460355$ 。

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.45508986 i$

解题步骤 30

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{2} = 3 - 1.09868411 - 0.45508986 i$

解题步骤 31

求满足 $r = 3$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

解题步骤 32

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 32.1

化简。

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解题步骤 32.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

解题步骤 32.1.2

要将 $6 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 32.1.3

组合 $6 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 32.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 32.1.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

解题步骤 32.1.6

将 $π$ 和 $12 π$ 相加。

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

解题步骤 32.2

将 $4 θ = \frac{13 π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 32.2.1

将 $4 θ = \frac{13 π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

解题步骤 32.2.2

化简左边。

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解题步骤 32.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 32.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

解题步骤 32.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

解题步骤 32.2.3

化简右边。

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解题步骤 32.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 32.2.3.2

乘以 $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 32.2.3.2.1

将 $\frac{13 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 32.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$θ = \frac{13 π}{8}$

解题步骤 33

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = 2 i$ 的解。

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 34.1

化简每一项。

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解题步骤 34.1.1

$\cos (\frac{13 π}{8})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.1.1

将 $\frac{13 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.3

由于余弦在第四象限中为正，所以将 $\pm$ 变为 $+$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4

化简 $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 34.1.1.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.5

在公分母上合并分子。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.7

乘以 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.1.4.7.1

将 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.8

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.9

化简分母。

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解题步骤 34.1.1.4.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.1.4.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

解题步骤 34.1.2

$\sin (\frac{13 π}{8})$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.2.1

将 $\frac{13 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

解题步骤 34.1.2.2

使用正弦半角公式。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.3

由于正弦在第四象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ 。

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解题步骤 34.1.2.4.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.2.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.4.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.6

在公分母上合并分子。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.7

将分子乘以分母的倒数。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.8

乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.2.4.8.1

将 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

解题步骤 34.1.2.4.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

解题步骤 34.1.2.4.9

将 $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

解题步骤 34.1.2.4.10

化简分母。

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解题步骤 34.1.2.4.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

解题步骤 34.1.2.4.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

解题步骤 34.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 34.2

化简项。

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解题步骤 34.2.1

在公分母上合并分子。

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

解题步骤 34.2.2

组合 $1.18920711$ 和 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ 。

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

解题步骤 34.2.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 34.3

分离分数。

$u_{3} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

解题步骤 34.4

化简表达式。

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解题步骤 34.4.1

用 $1.18920711$ 除以 $2$ 。

$u_{3} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

解题步骤 34.4.2

用 $\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 除以 $1$ 。

$u_{3} = 0.59460355 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 34.5

运用分配律。

$u_{3} = 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 34.6

将 $0.59460355$ 乘以 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 。

$u_{3} = 0.45508986 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 34.7

乘以 $0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ 。

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解题步骤 34.7.1

将 $- 1$ 乘以 $0.59460355$ 。

$u_{3} = 0.45508986 - 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

解题步骤 34.7.2

将 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ 乘以 $- 0.59460355$ 。

$u_{3} = 0.45508986 - 1.09868411 i$

解题步骤 35

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{3} = 3 + 0.45508986 - 1.09868411 i$

解题步骤 36

这些是 $u^{4} = 2 i$ 的复数解。

$z_{0} = 4.09868411 + 0.45508986 i$

$z_{1} = 2.54491013 + 1.09868411 i$

$z_{2} = 1.90131588 - 0.45508986 i$

$z_{3} = 3.45508986 - 1.09868411 i$

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