三角学示例

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1

对 $16 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将 $256$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{768 + 256}$

解题步骤 2.3.3

将 $768$ 和 $256$ 相加。

$r = \sqrt{1024}$

解题步骤 2.3.4

将 $1024$ 重写为 $32^{2}$ 。

$r = \sqrt{32^{2}}$

解题步骤 2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 32$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

解题步骤 4.1.2

重写表达式。

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

解题步骤 4.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

解题步骤 4.3.6.5

计算指数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

解题步骤 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 约为 $0.57735026$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 4.5

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ̂ = \frac{π}{6}$

解题步骤 5

因为 $x$ 和 $y$ 都为正数，所以该点位于第一象限。各象限从右上角开始按照逆时针方向进行标记。

象限 $1$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第一象限。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 7

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 8

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 8.1

组合 ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ 和 $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ 。

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

解题步骤 8.2

组合 $c$ 和 $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ 。

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

解题步骤 8.3

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ 。

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

解题步骤 8.4

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ 。

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

解题步骤 8.5

去掉圆括号。

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解题步骤 8.5.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

解题步骤 8.5.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

解题步骤 8.5.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

解题步骤 8.5.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

解题步骤 8.5.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

解题步骤 8.5.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

解题步骤 8.5.7

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

解题步骤 8.5.8

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

解题步骤 9

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

解题步骤 9.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

解题步骤 9.3

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 9.5

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

解题步骤 9.5.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

解题步骤 10

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

解题步骤 10.3

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

解题步骤 10.4

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 10.5

在公分母上合并分子。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 10.6

化简分子。

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解题步骤 10.6.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

解题步骤 10.6.2

将 $π$ 和 $12 π$ 相加。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

解题步骤 10.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 10.8

乘以 $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 10.8.1

将 $\frac{13 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

解题步骤 10.8.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 11

将 $k = 2$ 代入公式并化简。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

解题步骤 11.3

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

解题步骤 11.4

组合 $4 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 11.5

在公分母上合并分子。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 11.6

化简分子。

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解题步骤 11.6.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

解题步骤 11.6.2

将 $π$ 和 $24 π$ 相加。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

解题步骤 11.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 11.8

乘以 $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 11.8.1

将 $\frac{25 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

解题步骤 11.8.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 12

将 $k = 3$ 代入公式并化简。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

解题步骤 12.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

解题步骤 12.3

要将 $6 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

解题步骤 12.4

组合 $6 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 12.5

在公分母上合并分子。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

解题步骤 12.6

化简分子。

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解题步骤 12.6.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

解题步骤 12.6.2

将 $π$ 和 $36 π$ 相加。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

解题步骤 12.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 12.8

乘以 $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 12.8.1

将 $\frac{37 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

解题步骤 12.8.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 13

列出解。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

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