示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
建立公式以求特征方程 。
解题步骤 1.2
大小为 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 方阵。
解题步骤 1.3
将已知值代入 。
解题步骤 1.3.1
代入 替换 。
解题步骤 1.3.2
代入 替换 。
解题步骤 1.4
化简。
解题步骤 1.4.1
化简每一项。
解题步骤 1.4.1.1
将 乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 1.4.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
解题步骤 1.4.1.2.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.2
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.2.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.2.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.3
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.3.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.3.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.4
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.4.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.4.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.5
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.6
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.6.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.6.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.7
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.7.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.7.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.8
乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.8.1
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.8.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4.1.2.9
将 乘以 。
解题步骤 1.4.2
加上相应元素。
解题步骤 1.4.3
化简每一个元素。
解题步骤 1.4.3.1
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.2
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.3
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.4
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.5
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.6
将 和 相加。
解题步骤 1.4.3.7
从 中减去 。
解题步骤 1.5
求行列式。
解题步骤 1.5.1
选择包含最多 元素的行或列。如果没有 元素，选择任何一行或一列。将第 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。
解题步骤 1.5.1.1
考虑相应的符号表。
解题步骤 1.5.1.2
代数余子式是指在索引与符号图上的 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。
解题步骤 1.5.1.3
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 1.5.1.4
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 1.5.1.5
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 1.5.1.6
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 1.5.1.7
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 1.5.1.8
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 1.5.1.9
最后把这些项加起来。
解题步骤 1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.3
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4
计算 。
解题步骤 1.5.4.1
可以使用公式 求 矩阵的行列式。
解题步骤 1.5.4.2
化简行列式。
解题步骤 1.5.4.2.1
化简每一项。
解题步骤 1.5.4.2.1.1
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 1.5.4.2.1.1.1
运用分配律。
解题步骤 1.5.4.2.1.1.2
运用分配律。
解题步骤 1.5.4.2.1.1.3
运用分配律。
解题步骤 1.5.4.2.1.2
化简并合并同类项。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1
化简每一项。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.1
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.4
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.1
移动 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.6
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.7
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.1.2.2
从 中减去 。
解题步骤 1.5.4.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 1.5.4.2.2
从 中减去 。
解题步骤 1.5.4.2.3
将 和 重新排序。
解题步骤 1.5.5
化简行列式。
解题步骤 1.5.5.1
合并 中相反的项。
解题步骤 1.5.5.1.1
将 和 相加。
解题步骤 1.5.5.1.2
从 中减去 。
解题步骤 1.5.5.2
运用分配律。
解题步骤 1.5.5.3
化简。
解题步骤 1.5.5.3.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 1.5.5.3.1.1
移动 。
解题步骤 1.5.5.3.1.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.5.3.1.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.5.5.3.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.5.5.3.1.3
将 和 相加。
解题步骤 1.5.5.3.2
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 1.5.5.3.3
将 乘以 。
解题步骤 1.5.5.4
化简每一项。
解题步骤 1.5.5.4.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 1.5.5.4.1.1
移动 。
解题步骤 1.5.5.4.1.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.5.4.2
将 乘以 。
解题步骤 1.6
使特征多项式等于 ，以求特征值 。
解题步骤 1.7
求解 。
解题步骤 1.7.1
对方程左边进行因式分解。
解题步骤 1.7.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.1.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.1.4
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.1.5
从 中分解出因数 。
解题步骤 1.7.1.2
因数。
解题步骤 1.7.1.2.1
使用 AC 法来对 进行因式分解。
解题步骤 1.7.1.2.1.1
思考一下 这种形式。找出一对整数，其积为 ，且和为 。在本例中，其积即为 ，和为 。
解题步骤 1.7.1.2.1.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 1.7.1.2.2
去掉多余的括号。
解题步骤 1.7.2
如果等式左侧的任一因数等于 ，则整个表达式将等于 。
解题步骤 1.7.3
将 设为等于 。
解题步骤 1.7.4
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 1.7.4.1
将 设为等于 。
解题步骤 1.7.4.2
在等式两边都加上 。
解题步骤 1.7.5
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 1.7.5.1
将 设为等于 。
解题步骤 1.7.5.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 1.7.6
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 2
特征向量等于矩阵的零空间减去特征值再乘以单位矩阵，在其中， 是零空间， 是单位矩阵。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
将已知值代入公式中。
解题步骤 3.2
化简。
解题步骤 3.2.1
化简每一项。
解题步骤 3.2.1.1
将 乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 3.2.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
解题步骤 3.2.1.2.1
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.2
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.4
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.5
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.6
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.7
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.8
将 乘以 。
解题步骤 3.2.1.2.9
将 乘以 。
解题步骤 3.2.2
零矩阵加上任何矩阵都等于它自身。
解题步骤 3.2.2.1
加上相应元素。
解题步骤 3.2.2.2
化简每一个元素。
解题步骤 3.2.2.2.1
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.2
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.3
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.4
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.5
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.6
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.7
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.8
将 和 相加。
解题步骤 3.2.2.2.9
将 和 相加。
解题步骤 3.3
求当 时的零空间。
解题步骤 3.3.1
写成 的增广矩阵。
解题步骤 3.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
解题步骤 3.3.2.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 3.3.2.1.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 3.3.2.1.2
化简 。
解题步骤 3.3.2.2
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.2.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.2.2
化简 。
解题步骤 3.3.2.3
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.3.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.3.2
化简 。
解题步骤 3.3.2.4
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 3.3.2.4.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 3.3.2.4.2
化简 。
解题步骤 3.3.2.5
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.5.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.5.2
化简 。
解题步骤 3.3.2.6
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.6.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 3.3.2.6.2
化简 。
解题步骤 3.3.3
使用结果矩阵定义方程组的最终解。
解题步骤 3.3.4
通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。
解题步骤 3.3.5
把解写成向量的线性组合。
解题步骤 3.3.6
写成解集。
解题步骤 3.3.7
解为通过方程组自由变量创建的向量集合。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
将已知值代入公式中。
解题步骤 4.2
化简。
解题步骤 4.2.1
化简每一项。
解题步骤 4.2.1.1
将 乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 4.2.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
解题步骤 4.2.1.2.1
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.2
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.4
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.5
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.6
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.7
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.8
将 乘以 。
解题步骤 4.2.1.2.9
将 乘以 。
解题步骤 4.2.2
加上相应元素。
解题步骤 4.2.3
化简每一个元素。
解题步骤 4.2.3.1
从 中减去 。
解题步骤 4.2.3.2
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.3
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.4
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.5
从 中减去 。
解题步骤 4.2.3.6
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.7
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.8
将 和 相加。
解题步骤 4.2.3.9
从 中减去 。
解题步骤 4.3
求当 时的零空间。
解题步骤 4.3.1
写成 的增广矩阵。
解题步骤 4.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
解题步骤 4.3.2.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 4.3.2.1.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 4.3.2.1.2
化简 。
解题步骤 4.3.2.2
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.2.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.2.2
化简 。
解题步骤 4.3.2.3
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.3.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.3.2
化简 。
解题步骤 4.3.2.4
交换 和 ，以在 中放入一个非零项。
解题步骤 4.3.2.5
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 4.3.2.5.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 4.3.2.5.2
化简 。
解题步骤 4.3.2.6
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.6.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 4.3.2.6.2
化简 。
解题步骤 4.3.3
使用结果矩阵定义方程组的最终解。
解题步骤 4.3.4
通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。
解题步骤 4.3.5
把解写成向量的线性组合。
解题步骤 4.3.6
写成解集。
解题步骤 4.3.7
解为通过方程组自由变量创建的向量集合。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将已知值代入公式中。
解题步骤 5.2
化简。
解题步骤 5.2.1
化简每一项。
解题步骤 5.2.1.1
将 乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 5.2.1.2
化简矩阵中的每一个元素。
解题步骤 5.2.1.2.1
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.2
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.4
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.5
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.6
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.7
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.8
将 乘以 。
解题步骤 5.2.1.2.9
将 乘以 。
解题步骤 5.2.2
加上相应元素。
解题步骤 5.2.3
化简每一个元素。
解题步骤 5.2.3.1
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.2
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.3
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.4
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.5
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.6
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.7
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.8
将 和 相加。
解题步骤 5.2.3.9
将 和 相加。
解题步骤 5.3
求当 时的零空间。
解题步骤 5.3.1
写成 的增广矩阵。
解题步骤 5.3.2
求行简化阶梯形矩阵。
解题步骤 5.3.2.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 5.3.2.1.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 5.3.2.1.2
化简 。
解题步骤 5.3.2.2
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 5.3.2.2.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 5.3.2.2.2
化简 。
解题步骤 5.3.2.3
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 5.3.2.3.1
执行行操作 使 处的项为 。
解题步骤 5.3.2.3.2
化简 。
解题步骤 5.3.2.4
交换 和 ，以在 中放入一个非零项。
解题步骤 5.3.2.5
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 5.3.2.5.1
将 的每个元素乘以 ，使 的项为 。
解题步骤 5.3.2.5.2
化简 。
解题步骤 5.3.3
使用结果矩阵定义方程组的最终解。
解题步骤 5.3.4
通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。
解题步骤 5.3.5
把解写成向量的线性组合。
解题步骤 5.3.6
写成解集。
解题步骤 5.3.7
解为通过方程组自由变量创建的向量集合。
解题步骤 6
的特征空间为每一特征值的向量空间列表。