统计学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.6

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.7

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.8.1

将

0.1

$0.1$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8.2

将

0.3

$0.3$ 和

0.3

$0.3$ 相加。

0.6 + 0.2 + 0.2

$0.6 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8.3

将

0.6

$0.6$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.8.4

将

0.8

$0.8$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.9

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

3

$3$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

解题步骤 3.2

将

6

$6$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

解题步骤 3.3

将

8

$8$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

解题步骤 3.4

将

11

$11$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2$

解题步骤 3.5

将

15

$15$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

0.3

$0.3$ 和

1.2

$1.2$ 相加。

u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3

$u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3$

解题步骤 4.2

将

1.5

$1.5$ 和

2.4

$2.4$ 相加。

u = 3.9 + 2.2 + 3

$u = 3.9 + 2.2 + 3$

解题步骤 4.3

将

3.9

$3.9$ 和

2.2

$2.2$ 相加。

u = 6.1 + 3

$u = 6.1 + 3$

解题步骤 4.4

将

6.1

$6.1$ 和

3

$3$ 相加。

u = 9.1

$u = 9.1$

u = 9.1

$u = 9.1$

解题步骤 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

解题步骤 6

填入已知值。

{(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

9.1

$9.1$ 。

{(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.2

从

3

$3$ 中减去

9.1

$9.1$ 。

{(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

${(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.3

对

- 6.1

$- 6.1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.4

将

37.21

$37.21$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

9.1

$9.1$ 。

3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.6

从

6

$6$ 中减去

9.1

$9.1$ 。

3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.7

对

- 3.1

$- 3.1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.8

将

9.61

$9.61$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.10

从

8

$8$ 中减去

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.11

对

- 1.1

$- 1.1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.12

将

1.21

$1.21$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.13

将

- 1

$- 1$ 乘以

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.14

从

11

$11$ 中减去

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.15

对

1.9

$1.9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.16

将

3.61

$3.61$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.17

将

- 1

$- 1$ 乘以

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.18

从

15

$15$ 中减去

9.1

$9.1$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.19

对

5.9

$5.9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.20

将

34.81

$34.81$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将

3.721

$3.721$ 和

1.922

$1.922$ 相加。

5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962

$5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

解题步骤 7.2.2

将

5.643

$5.643$ 和

0.363

$0.363$ 相加。

6.006 + 0.722 + 6.962

$6.006 + 0.722 + 6.962$

解题步骤 7.2.3

将

6.006

$6.006$ 和

0.722

$0.722$ 相加。

6.728 + 6.962

$6.728 + 6.962$

解题步骤 7.2.4

将

6.728

$6.728$ 和

6.962

$6.962$ 相加。

13.69

$13.69$

13.69

$13.69$

13.69

$13.69$

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