统计学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.3 \\ 5 & 0.4 \\ 10 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.3

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.4

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.5

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.6

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.7

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.8

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $0.3$ 和 $0.4$ 相加。

$0.7 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.8.2

将 $0.7$ 和 $0.1$ 相加。

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.8.3

将 $0.8$ 和 $0.2$ 相加。

$1$

解题步骤 1.9

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.3 + 0.4 + 0.1 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$u = 3 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 乘以 $0.3$ 。

$u = 0.9 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.2

将 $5$ 乘以 $0.4$ 。

$u = 0.9 + 2 + 10 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.3

将 $10$ 乘以 $0.1$ 。

$u = 0.9 + 2 + 1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.4

将 $12$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 0.9 + 2 + 1 + 2.4$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $0.9$ 和 $2$ 相加。

$u = 2.9 + 1 + 2.4$

解题步骤 4.2

将 $2.9$ 和 $1$ 相加。

$u = 3.9 + 2.4$

解题步骤 4.3

将 $3.9$ 和 $2.4$ 相加。

$u = 6.3$

解题步骤 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

解题步骤 6

填入已知值。

${(3 - (6.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6.3$ 。

${(3 - 6.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.2

从 $3$ 中减去 $6.3$ 。

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.3

对 $- 3.3$ 进行 $2$ 次方运算。

$10.89 \cdot 0.3 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.4

将 $10.89$ 乘以 $0.3$ 。

$3.267 + {(5 - (6.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $6.3$ 。

$3.267 + {(5 - 6.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.6

从 $5$ 中减去 $6.3$ 。

$3.267 + {(- 1.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.7

对 $- 1.3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3.267 + 1.69 \cdot 0.4 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.8

将 $1.69$ 乘以 $0.4$ 。

$3.267 + 0.676 + {(10 - (6.3))}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.9

将 $- 1$ 乘以 $6.3$ 。

$3.267 + 0.676 + {(10 - 6.3)}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.10

从 $10$ 中减去 $6.3$ 。

$3.267 + 0.676 + {3.7}^{2} \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.11

对 $3.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$3.267 + 0.676 + 13.69 \cdot 0.1 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.12

将 $13.69$ 乘以 $0.1$ 。

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - (6.3))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.13

将 $- 1$ 乘以 $6.3$ 。

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {(12 - 6.3)}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.14

从 $12$ 中减去 $6.3$ 。

$3.267 + 0.676 + 1.369 + {5.7}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.15

对 $5.7$ 进行 $2$ 次方运算。

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 32.49 \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.16

将 $32.49$ 乘以 $0.2$ 。

$3.267 + 0.676 + 1.369 + 6.498$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $3.267$ 和 $0.676$ 相加。

$3.943 + 1.369 + 6.498$

解题步骤 7.2.2

将 $3.943$ 和 $1.369$ 相加。

$5.312 + 6.498$

解题步骤 7.2.3

将 $5.312$ 和 $6.498$ 相加。

$11.81$

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