统计学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.6

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.4 + 0.2 + 0.4

$0.4 + 0.2 + 0.4$

解题步骤 1.7

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$ 。

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解题步骤 1.7.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

解题步骤 1.7.2

将

0.6

$0.6$ 和

0.4

$0.4$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.8

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

0.4

$0.4$ 乘以

1

$1$ 。

0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

解题步骤 3.2

将

4

$4$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4$

解题步骤 3.3

将

6

$6$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.8

$0.8$ 相加。

1.2 + 2.4

$1.2 + 2.4$

解题步骤 4.2

将

1.2

$1.2$ 和

2.4

$2.4$ 相加。

3.6

$3.6$

3.6

$3.6$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.2

从

1

$1$ 中减去

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.3

对

- 2.6

$- 2.6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.4

将

6.76

$6.76$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.6

从

4

$4$ 中减去

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.7

对

0.4

$0.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.8

将

0.16

$0.16$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.10

从

6

$6$ 中减去

3.6

$3.6$ 。

\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.11

对

2.4

$2.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}$

解题步骤 7.12

将

5.76

$5.76$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}$

解题步骤 7.13

将

2.704

$2.704$ 和

0.032

$0.032$ 相加。

\sqrt{2.736 + 2.304}

$\sqrt{2.736 + 2.304}$

解题步骤 7.14

将

2.736

$2.736$ 和

2.304

$2.304$ 相加。

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

小数形式：

2.24499443 \dots

$2.24499443 \dots$

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