统计学示例

\begin{matrix} x & P (x) 0 & 0.3 3 & 0.3 7 & 0.4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.3 \\ 3 & 0.3 \\ 7 & 0.4 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.5

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

解题步骤 1.6

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$ 。

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解题步骤 1.6.1

将

0.3

$0.3$ 和

0.3

$0.3$ 相加。

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

解题步骤 1.6.2

将

0.6

$0.6$ 和

0.4

$0.4$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.7

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.3 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.4 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

0

$0$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4

$0 + 3 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.4$

解题步骤 3.2

将

3

$3$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4

$0 + 0.9 + 7 \cdot 0.4$

解题步骤 3.3

将

7

$7$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

0 + 0.9 + 2.8

$0 + 0.9 + 2.8$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

0

$0$ 和

0.9

$0.9$ 相加。

0.9 + 2.8

$0.9 + 2.8$

解题步骤 4.2

将

0.9

$0.9$ 和

2.8

$2.8$ 相加。

3.7

$3.7$

3.7

$3.7$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(0 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.2

从

0

$0$ 中减去

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.3

对

- 3.7

$- 3.7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{13.69 \cdot 0.3 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.4

将

13.69

$13.69$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - (3.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(3 - 3.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.6

从

3

$3$ 中减去

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + {(- 0.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.7

对

- 0.7

$- 0.7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.49 \cdot 0.3 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.8

将

0.49

$0.49$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - (3.7))}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {(7 - 3.7)}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.10

从

7

$7$ 中减去

3.7

$3.7$ 。

\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + {3.3}^{2} \cdot 0.4}$

解题步骤 7.11

对

3.3

$3.3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 10.89 \cdot 0.4}$

解题步骤 7.12

将

10.89

$10.89$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}

$\sqrt{4.107 + 0.147 + 4.356}$

解题步骤 7.13

将

4.107

$4.107$ 和

0.147

$0.147$ 相加。

\sqrt{4.254 + 4.356}

$\sqrt{4.254 + 4.356}$

解题步骤 7.14

将

4.254

$4.254$ 和

4.356

$4.356$ 相加。

$\sqrt{8.61}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{8.61}$

小数形式：

$2.93428015 \dots$

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