统计学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 4 & 0.3 \\ 6 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.2 \\ 4 & 0.3 \\ 6 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.6

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.7

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.8

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.9.1

将

0.2

$0.2$ 和

0.3

$0.3$ 相加。

0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.2

将

0.5

$0.5$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.3

将

0.7

$0.7$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.9.4

将

0.8

$0.8$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.10

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

Expectation = 1 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$Expectation = 1 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将

0.2

$0.2$ 乘以

1

$1$ 。

Expectation = 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.1.2

将

4

$4$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

Expectation = 0.2 + 1.2 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 6 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.1.3

将

6

$6$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.1.4

将

9

$9$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 12 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 12 \cdot 0.2$

解题步骤 3.1.5

将

12

$12$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 2.4

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 2.4$

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 2.4

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.2 + 0.9 + 2.4$

解题步骤 3.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.1

将

0.2

$0.2$ 和

1.2

$1.2$ 相加。

Expectation = 1.4 + 1.2 + 0.9 + 2.4

$Expectation = 1.4 + 1.2 + 0.9 + 2.4$

解题步骤 3.2.2

将

1.4

$1.4$ 和

1.2

$1.2$ 相加。

Expectation = 2.6 + 0.9 + 2.4

$Expectation = 2.6 + 0.9 + 2.4$

解题步骤 3.2.3

将

2.6

$2.6$ 和

0.9

$0.9$ 相加。

Expectation = 3.5 + 2.4

$Expectation = 3.5 + 2.4$

解题步骤 3.2.4

将

3.5

$3.5$ 和

2.4

$2.4$ 相加。

Expectation = 5.9

$Expectation = 5.9$

Expectation = 5.9

$Expectation = 5.9$

Expectation = 5.9

$Expectation = 5.9$

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