统计学示例

\begin{array}{c} 组 & 频率 \\ 2 - 10 & 1 \\ 11 - 19 & 3 \\ 20 - 28 & 9 \end{array}

$\begin{array}{c} 组 & 频率 \\ 2 - 10 & 1 \\ 11 - 19 & 3 \\ 20 - 28 & 9 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点

M

$M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以

2

$2$ 。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & \frac{2 + 10}{2} \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & \frac{11 + 19}{2} \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & \frac{20 + 28}{2} \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & \frac{2 + 10}{2} \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & \frac{11 + 19}{2} \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & \frac{20 + 28}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & 24 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 2 & 10 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 11 & 19 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 20 & 28 & 24 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}$

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方

M^{2}

$M^{2}$ 。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6^{2} \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 15^{2} \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 24^{2} \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6^{2} \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 15^{2} \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 24^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简

M^{2}

$M^{2}$ 列。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率

f

$f$ 。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 1 \cdot 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 3 \cdot 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 9 \cdot 576 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 1 \cdot 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 3 \cdot 225 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 9 \cdot 576 \end{array}$

解题步骤 5

化简

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 列。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 675 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 5184 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 36 & 36 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 225 & 675 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 576 & 5184 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为

n = 1, 3, 9 = 13

$n = 1, 3, 9 = 13$ 。

\sum_{}^{} f = n = 13

$\sum_{}^{} f = n = 13$

解题步骤 7

求

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即

36 + 675 + 5184 = 5895

$36 + 675 + 5184 = 5895$ 。

\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 5895

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 5895$

解题步骤 8

求平均值

μ

$μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点

M

$M$ 。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 2 - 10 & 1 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 1 \cdot 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 3 \cdot 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 9 \cdot 24 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 1 \cdot 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 3 \cdot 15 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 9 \cdot 24 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简

f \cdot M

$f \cdot M$ 列。

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 45 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 216 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 2 - 10 & 1 & 6 & 6 \\ 11 - 19 & 3 & 15 & 45 \\ 20 - 28 & 9 & 24 & 216 \end{array}$

解题步骤 8.4

将

f \cdot M

$f \cdot M$ 列中的值相加。

6 + 45 + 216 = 267

$6 + 45 + 216 = 267$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

n = 1 + 3 + 9 = 13

$n = 1 + 3 + 9 = 13$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为

f \cdot M

$f \cdot M$ 的和除以

n

$n$ ，即为频率的和。

μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

μ = \frac{267}{13}

$μ = \frac{267}{13}$

解题步骤 8.8

化简

μ = \frac{267}{13}

$μ = \frac{267}{13}$ 的右边。

20.53846153

$20.53846153$

20.53846153

$20.53846153$

解题步骤 9

标准差方程为

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}

$S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}$

解题步骤 11

化简

S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}

$S^{2} = \frac{5895 - 13 {(20.53846153)}^{2}}{13 - 1}$ 的右边以得出方差

S^{2} = 34.26923076

$S^{2} = 34.26923076$ 。

34.26923076

$34.26923076$

解题步骤 12

标准差是方差的平方根

34.26923076

$34.26923076$ 。在本例中，标准差为

5.85399272

$5.85399272$ 。

5.85399272

$5.85399272$

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