统计学示例

\begin{matrix} Class & Frequency 10 - 13 & 1 14 - 17 & 3 18 - 21 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 10 - 13 & 1 \\ 14 - 17 & 3 \\ 18 - 21 & 4 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点

M

$M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits 10 - 13 & 1 & 10 & 13 14 - 17 & 3 & 14 & 17 18 - 21 & 4 & 18 & 21 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以

2

$2$ 。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & \frac{10 + 13}{2} 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & \frac{14 + 17}{2} 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & \frac{18 + 21}{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & \frac{10 + 13}{2} \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & \frac{14 + 17}{2} \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & \frac{18 + 21}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & 11.5 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & 15.5 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & 19.5 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方

M^{2}

$M^{2}$ 。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & {11.5}^{2} 14 - 17 & 3 & 15.5 & {15.5}^{2} 18 - 21 & 4 & 19.5 & {19.5}^{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & {11.5}^{2} \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & {15.5}^{2} \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & {19.5}^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简

M^{2}

$M^{2}$ 列。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率

f

$f$ 。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 1 \cdot 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 3 \cdot 240.25 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 4 \cdot 380.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 1 \cdot 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 3 \cdot 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 4 \cdot 380.25 \end{array}$

解题步骤 5

化简

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 列。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 720.75 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 1521 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 720.75 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 1521 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为

n = 1, 3, 4 = 8

$n = 1, 3, 4 = 8$ 。

\sum f = n = 8

$\sum_{}^{} f = n = 8$

解题步骤 7

求

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即

132.25 + 720.75 + 1521 = 2374

$132.25 + 720.75 + 1521 = 2374$ 。

\sum f \cdot M^{2} = 2374

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 2374$

解题步骤 8

求平均值

μ

$μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点

M

$M$ 。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 10 - 13 & 1 & 11.5 & 1 \cdot 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 & 3 \cdot 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 & 4 \cdot 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 1 \cdot 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 3 \cdot 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 4 \cdot 19.5 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简

f \cdot M

$f \cdot M$ 列。

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 10 - 13 & 1 & 11.5 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 & 46.5 18 - 21 & 4 & 19.5 & 78 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 46.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 78 \end{array}$

解题步骤 8.4

将

f \cdot M

$f \cdot M$ 列中的值相加。

11.5 + 46.5 + 78 = 136

$11.5 + 46.5 + 78 = 136$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

n = 1 + 3 + 4 = 8

$n = 1 + 3 + 4 = 8$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为

f \cdot M

$f \cdot M$ 的和除以

n

$n$ ，即为频率的和。

μ = \frac{\sum f \cdot M}{\sum f}

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

μ = \frac{136}{8}

$μ = \frac{136}{8}$

解题步骤 8.8

化简

μ = \frac{136}{8}

$μ = \frac{136}{8}$ 的右边。

17

$17$

17

$17$

解题步骤 9

标准差方程为

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}

$S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$

解题步骤 11

化简

S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}

$S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$ 的右边以得出方差

S^{2} = 8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$S^{2} = 8.\overline{857142}$ 。

8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$8.\overline{857142}$

解题步骤 12

标准差是方差的平方根

8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$8.\overline{857142}$ 。在本例中，标准差为

2.97609523

$2.97609523$ 。

2.97609523

$2.97609523$

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