初级微积分示例

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(2, 9)

$(2, 9)$

解题步骤 1

用点积公式求两个向量的夹角。

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求点积。

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解题步骤 2.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

解题步骤 2.2.1.2

将

2

$2$ 乘以

9

$9$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

解题步骤 2.2.2

将

2

$2$ 和

18

$18$ 相加。

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

a⃗ \cdot b⃗ = 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

解题步骤 3

求

a⃗

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将

1

$1$ 和

4

$4$ 相加。

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

| a⃗ | = \sqrt{5}

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 4

求

b⃗

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

9

$9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

解题步骤 4.2.3

将

4

$4$ 和

81

$81$ 相加。

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

| b⃗ | = \sqrt{85}

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

解题步骤 6.1.2

将

5

$5$ 乘以

85

$85$ 。

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将

425

$425$ 重写为

5^{2} \cdot 17

$5^{2} \cdot 17$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从

425

$425$ 中分解出因数

25

$25$ 。

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

解题步骤 6.2.1.2

将

25

$25$ 重写为

5^{2}

$5^{2}$ 。

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

θ = arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

解题步骤 6.2.2

从根式下提出各项。

θ = arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

θ = arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

解题步骤 6.3

约去

20

$20$ 和

5

$5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从

20

$20$ 中分解出因数

5

$5$ 。

θ = arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从

5 \sqrt{17}

$5 \sqrt{17}$ 中分解出因数

5

$5$ 。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

解题步骤 6.4

将

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

解题步骤 6.5

合并和化简分母。

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解题步骤 6.5.1

将

$\frac{4}{\sqrt{17}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

解题步骤 6.5.2

对

$\sqrt{17}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

解题步骤 6.5.3

对

$\sqrt{17}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

解题步骤 6.5.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.5.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

解题步骤 6.5.6

将

${\sqrt{17}}^{2}$ 重写为

$17$ 。

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解题步骤 6.5.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{17}$ 重写成

$17^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.5.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

解题步骤 6.5.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

解题步骤 6.6

计算

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ 。

$θ = 14.03624346$

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