初级微积分示例

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

解题步骤 1

用点积公式求两个向量的夹角。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求点积。

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解题步骤 2.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

解题步骤 2.2.1.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

解题步骤 2.2.2

将 $12$ 和 $32$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

解题步骤 3.2.3

将 $36$ 和 $64$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

解题步骤 3.2.4

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 10$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

解题步骤 4.2.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.2.5

从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $44$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $44$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $10 (2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6.2

约去 $22$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $5 (2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.4.2

移动 $\sqrt{5}$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

解题步骤 6.4.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 6.4.7

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.7.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

解题步骤 6.4.7.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

解题步骤 6.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

解题步骤 6.6

计算 $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ 。

$θ = 10.30484646$

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