初级微积分示例

f (θ) = 3 sin (2 θ)

$f (θ) = 3 \sin (2 θ)$

解题步骤 1

使用

a sin (b x - c) + d

$a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

a = 3

$a = 3$

b = 2

$b = 2$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅

| a |

$| a |$ 。

振幅：

3

$3$

解题步骤 3

求

3 sin (2 x)

$3 \sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的

2

$2$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 2 |}

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

2

$2$ 之间的距离为

2

$2$ 。

\frac{2 π}{2}

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.4.2

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 4

使用公式

$\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过

$\frac{c}{b}$ 计算。

相移：

$\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中

$c$ 和

$b$ 的值。

相移：

$\frac{0}{2}$

解题步骤 4.3

用

$0$ 除以

$2$ 。

相移：

$0$

相移：

$0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅：

$3$

周期：

$π$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在

$x = 0$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = 3 \sin (2 (0))$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

将

$2$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 3 \sin (0)$

解题步骤 6.1.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.1.2.3

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 6.1.2.4

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 6.2

求在

$x = \frac{π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的

$\frac{π}{4}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.2.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2.3

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 3$

解题步骤 6.2.2.4

最终答案为

$3$ 。

$3$

解题步骤 6.3

求在

$x = \frac{π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的

$\frac{π}{2}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.3.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (π)$

解题步骤 6.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (0)$

解题步骤 6.3.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.3.2.4

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 6.3.2.5

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 6.4

求在

$x = \frac{3 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的

$\frac{3 π}{4}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.4.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.4.2.4

乘以

$3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 6.4.2.4.2

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 3$

解题步骤 6.4.2.5

最终答案为

$- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.5

求在

$x = π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的

$π$ 替换变量

$x$ 。

$f (π) = 3 \sin (2 (π))$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

减去

$2 π$ 的全角，直至角度大于等于

$0$ 且小于

$2 π$ 。

$f (π) = 3 \sin (0)$

解题步骤 6.5.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$f (π) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.5.2.3

将

$3$ 乘以

$0$ 。

$f (π) = 0$

解题步骤 6.5.2.4

最终答案为

$0$ 。

$0$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - 3 \\ π & 0 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅：

$3$

周期：

$π$

相移：无

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - 3 \\ π & 0 \end{array}$

解题步骤 8

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