初级微积分示例

$f (θ) = 2 \sin (4 θ)$

解题步骤 1

使用 $a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 2$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $2$

解题步骤 3

求 $2 \sin (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{0}{4}$

解题步骤 4.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

相移： $0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $2$

周期： $\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = 0$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 2 \sin (4 (0))$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 2 \sin (0)$

解题步骤 6.1.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 6.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{π}{8}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{π}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

解题步骤 6.2.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 2$

解题步骤 6.2.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 6.3.2.1.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (π)$

解题步骤 6.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (0)$

解题步骤 6.3.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.3.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 6.3.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{3 π}{8}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.4.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.4.2.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cdot - 1$

解题步骤 6.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2$

解题步骤 6.4.2.5

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.5

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 (2) (\frac{π}{2}))$

解题步骤 6.5.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})))$

解题步骤 6.5.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 π)$

解题步骤 6.5.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (0)$

解题步骤 6.5.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

解题步骤 6.5.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 6.5.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{8} & 2 \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $2$

周期： $\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{8} & 2 \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

解题步骤 8

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