初级微积分示例

f (x) = 4 \sec (4 x)

$f (x) = 4 \sec (4 x)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意

y = \sec (x)

$y = \sec (x)$ ，垂直渐近线均出现在

x = \frac{π}{2} + n π

$x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中

n

$n$ 为一个整数。使用

y = s e c (x)

$y = s e c (x)$ 、

(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 的基本周期求

y = 4 \sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线。将

y = a \sec (b x + c) + d

$y = a \sec (b x + c) + d$ 的正割函数的变量

b x + c

$b x + c$ 设为等于

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ ，以求

y = 4 \sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线出现的位置。

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

将

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 1.2.3.2

乘以

- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 乘以

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 。

x = - \frac{π}{4 \cdot 2}

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3.2.2

将

4

$4$ 乘以

2

$2$ 。

x = - \frac{π}{8}

$x = - \frac{π}{8}$

x = - \frac{π}{8}

$x = - \frac{π}{8}$

x = - \frac{π}{8}

$x = - \frac{π}{8}$

x = - \frac{π}{8}

$x = - \frac{π}{8}$

解题步骤 1.3

将正割函数

4 x

$4 x$ 的变量设为

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ 。

4 x = \frac{3 π}{2}

$4 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4

将

4 x = \frac{3 π}{2}

$4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以

4

$4$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将

4 x = \frac{3 π}{2}

$4 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以

4

$4$ 。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去公因数。

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

解题步骤 1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 1.4.3.2

乘以

\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ 乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 。

x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将

2

$2$ 乘以

4

$4$ 。

x = \frac{3 π}{8}

$x = \frac{3 π}{8}$

x = \frac{3 π}{8}

$x = \frac{3 π}{8}$

x = \frac{3 π}{8}

$x = \frac{3 π}{8}$

x = \frac{3 π}{8}

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 1.5

y = 4 \sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ 的基期将出现在

(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ ，其中

- \frac{π}{8}

$- \frac{π}{8}$ 和

\frac{3 π}{8}

$\frac{3 π}{8}$ 为垂直渐近线。

(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$

解题步骤 1.6

求周期

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

4

$4$ 之间的距离为

4

$4$ 。

\frac{2 π}{4}

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 1.6.2

约去

2

$2$ 和

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从

2 π

$2 π$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (π)}{4}

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

解题步骤 1.7

y = 4 \sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ 的垂直渐近线出现在

- \frac{π}{8}

$- \frac{π}{8}$ 、

\frac{3 π}{8}

$\frac{3 π}{8}$ 和每一个

\frac{π n}{4}

$\frac{π n}{4}$ 处，其中

n

$n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

解题步骤 1.8

正割只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：

x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中

n

$n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：

x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中

n

$n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用

a \sec (b x - c) + d

$a \sec (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

a = 4

$a = 4$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数

s e c

$s e c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求

4 \sec (4 x)

$4 \sec (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的

4

$4$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 4 |}

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

4

$4$ 之间的距离为

4

$4$ 。

\frac{2 π}{4}

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 4.4

约去

2

$2$ 和

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从

2 π

$2 π$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (π)}{4}

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

解题步骤 5

使用公式

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 计算。

相移：

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中

c

$c$ 和

b

$b$ 的值。

相移：

\frac{0}{4}

$\frac{0}{4}$

解题步骤 5.3

用

0

$0$ 除以

4

$4$ 。

相移：

0

$0$

相移：

0

$0$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期：

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线：

x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ ，其中

n

$n$ 是一个整数

振幅：无

周期：

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 8

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