初级微积分示例

x^{2} - y = 2

$x^{2} - y = 2$ ,

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1

在

x^{2} - y = 2

$x^{2} - y = 2$ 中求解

y

$y$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去

x^{2}

$x^{2}$ 。

- y = 2 - x^{2}

$- y = 2 - x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2

将

- y = 2 - x^{2}

$- y = 2 - x^{2}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将

- y = 2 - x^{2}

$- y = 2 - x^{2}$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- y}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}

$\frac{- y}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{y}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}

$\frac{y}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2.2.2

用

y

$y$ 除以

1

$1$ 。

y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

用

2

$2$ 除以

- 1

$- 1$ 。

y = - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}

$y = - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

y = - 2 + \frac{x^{2}}{1}

$y = - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 1.2.3.1.3

用

x^{2}

$x^{2}$ 除以

1

$1$ 。

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的

y

$y$ 替换成

- 2 + x^{2}

$- 2 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

使用

- 2 + x^{2}

$- 2 + x^{2}$ 替换

2 x - y = - 1

$2 x - y = - 1$ 中所有出现的

y

$y$ .

2 x - (- 2 + x^{2}) = - 1

$2 x - (- 2 + x^{2}) = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3

在

2 x + 2 - x^{2} = - 1

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

2 x + 2 - x^{2} + 1 = 0

$2 x + 2 - x^{2} + 1 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.2

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

2 x - x^{2} + 3 = 0

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

从

2 x - x^{2} + 3

$2 x - x^{2} + 3$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将

2 x

$2 x$ 和

- x^{2}

$- x^{2}$ 重新排序。

- x^{2} + 2 x + 3 = 0

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.2

从

- x^{2}

$- x^{2}$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3

从

2 x

$2 x$ 中分解出因数

- 1

$- 1$ 。

- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.4

将

3

$3$ 重写为

- 1 (- 3)

$- 1 (- 3)$ 。

- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

y = - 2 + x^{2}

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.5

从

- (x^{2}) - (- 2 x)

$- (x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.6

从

$- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.2

因数。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 AC 法来对

$x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 3$ ，和为

$- 2$ 。

$- 3, 1$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.5

将

$x - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将

$x - 3$ 设为等于

$0$ 。

$x - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.6

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 。

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去

$1$ 。

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 3.7

最终解为使

$- (x - 3) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的

$x$ 替换成

$3$ 。

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解题步骤 4.1

使用

$3$ 替换

$y = - 2 + x^{2}$ 中所有出现的

$x$ .

$y = - 2 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简

$- 2 + {(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = - 2 + 9$

$x = 3$

解题步骤 4.2.1.2

将

$- 2$ 和

$9$ 相加。

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的

$x$ 替换成

$- 1$ 。

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解题步骤 5.1

使用

$- 1$ 替换

$y = - 2 + x^{2}$ 中所有出现的

$x$ .

$y = - 2 + {(- 1)}^{2}$

$x = - 1$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简

$- 2 + {(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = - 2 + 1$

$x = - 1$

解题步骤 5.2.1.2

将

$- 2$ 和

$1$ 相加。

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

解题步骤 6

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(3, 7)$

$(- 1, - 1)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(3, 7), (- 1, - 1)$

方程形式：

$x = 3, y = 7$

$x = - 1, y = - 1$

解题步骤 8

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