初级微积分示例

8

$8$ ,

2

$2$ ,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 即得到数列的下一项。亦即

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列：

r = \frac{1}{4}

$r = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

级数

S_{n}

$S_{n}$ 的和可以使用公式

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 进行计算。对于无限几何级数的和

S_{\infty}

$S_{\infty}$ ，由于

n

$n$ 趋于

\infty

$\infty$ 、

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ 趋于

1

$1$ ，因此，

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 趋于

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ 。

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

解题步骤 3

值

a = 8

$a = 8$ 和

r = \frac{1}{4}

$r = \frac{1}{4}$ 可以代入方程

S_{\infty}

$S_{\infty}$ 。

S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 4

化简方程以求

S_{\infty}

$S_{\infty}$ 。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}$

解题步骤 4.1.3

从

4

$4$ 中减去

1

$1$ 。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})

$S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})$

解题步骤 4.3

乘以

8 (\frac{4}{3})

$8 (\frac{4}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.1

组合

8

$8$ 和

\frac{4}{3}

$\frac{4}{3}$ 。

S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}

$S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}$

解题步骤 4.3.2

将

8

$8$ 乘以

4

$4$ 。

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

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