初级微积分示例

$12$ , $4$ , $\frac{4}{3}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

级数 $S_{n}$ 的和可以使用公式 $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 进行计算。对于无限几何级数的和 $S_{\infty}$ ，由于 $n$ 趋于 $\infty$ 、 $1 - r^{n}$ 趋于 $1$ ，因此， $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 趋于 $\frac{a}{1 - r}$ 。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

解题步骤 3

值 $a = 12$ 和 $r = \frac{1}{3}$ 可以代入方程 $S_{\infty}$ 。

$S_{\infty} = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

化简方程以求 $S_{\infty}$ 。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{3 - 1}{3}}$

解题步骤 4.1.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$S_{\infty} = \frac{12}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$S_{\infty} = 12 (\frac{3}{2})$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{\infty} = 2 (6) (\frac{3}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$S_{\infty} = 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$S_{\infty} = 6 \cdot 3$

解题步骤 4.4

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$S_{\infty} = 18$

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