初级微积分示例

135

$135$ ,

45

$45$ ,

15

$15$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列：

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入

a_{1} = 135

$a_{1} = 135$ 和

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ 的值。

a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 5

一的任意次幂都为一。

a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

解题步骤 6

组合

135

$135$ 和

\frac{1}{3^{n - 1}}

$\frac{1}{3^{n - 1}}$ 。

a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

解题步骤 7

这是求等比数列的前

n

$n$ 项之和的公式。要进行计算，求出

r

$r$ 和

a_{1}

$a_{1}$ 的值。

S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 8

使用已知值替换变量以求

S_{5}

$S_{5}$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

对

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.2

一的任意次幂都为一。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.3

对

3

$3$ 进行

5

$5$ 次方运算。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.4

要将

- 1

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.5

组合

- 1

$- 1$ 和

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.6

在公分母上合并分子。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.7

化简分子。

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解题步骤 9.7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

243

$243$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.7.2

从

1

$1$ 中减去

243

$243$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 9.8

将负号移到分数的前面。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

要将

- 1

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 10.2

组合

- 1

$- 1$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 10.3

在公分母上合并分子。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 10.4.2

从

1

$1$ 中减去

3

$3$ 。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 10.5

将负号移到分数的前面。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 11

将两个负数相除得到一个正数。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12

将分子乘以分母的倒数。

S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

解题步骤 13

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从

242

$242$ 中分解出因数

2

$2$ 。

S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

解题步骤 14

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从

$243$ 中分解出因数

$3$ 。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

解题步骤 15

约去

$27$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

从

$135$ 中分解出因数

$27$ 。

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

解题步骤 15.2

从

$81$ 中分解出因数

$27$ 。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

解题步骤 15.3

约去公因数。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

解题步骤 15.4

重写表达式。

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

解题步骤 16

组合

$5$ 和

$\frac{121}{3}$ 。

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

解题步骤 17

将

$5$ 乘以

$121$ 。

$S_{5} = \frac{605}{3}$

解题步骤 18

把分数转换成小数。

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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