初级微积分示例

\frac{i + 1}{5 i - 1}

$\frac{i + 1}{5 i - 1}$

解题步骤 1

对

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}$ 的分子和分母乘以

- 1 + 5 i

$- 1 + 5 i$ 的共轭以使分母变为实数。

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}$

解题步骤 2

乘。

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解题步骤 2.1

合并。

\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.1

使用 FOIL 方法展开

(i + 1) (- 1 - 5 i)

$(i + 1) (- 1 - 5 i)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.1.2

运用分配律。

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.1.3

运用分配律。

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将

- 1

$- 1$ 移到

i

$i$ 的左侧。

\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将

- 1 i

$- 1 i$ 重写为

- i

$- i$ 。

\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.3

乘以

i (- 5 i)

$i (- 5 i)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.4

将

i^{2}

$i^{2}$ 重写为

- 1

$- 1$ 。

\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.5

将

- 5

$- 5$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.1.7

将

- 5 i

$- 5 i$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.2

从

- i

$- i$ 中减去

5 i

$5 i$ 。

\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.2.2.3

从

5

$5$ 中减去

1

$1$ 。

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.3

化简分母。

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解题步骤 2.3.1

使用 FOIL 方法展开

(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)

$(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.3.1.2

运用分配律。

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

解题步骤 2.3.2.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

解题步骤 2.3.2.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

5

$5$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}$

解题步骤 2.3.2.4

将

- 5

$- 5$ 乘以

5

$5$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}$

解题步骤 2.3.2.5

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}$

解题步骤 2.3.2.6

对

i

$i$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 2.3.2.7

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.2.8

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}$

解题步骤 2.3.2.9

从

5 i

$5 i$ 中减去

5 i

$5 i$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}$

解题步骤 2.3.2.10

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1

将

i^{2}

$i^{2}$ 重写为

- 1

$- 1$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}$

解题步骤 2.3.3.2

将

- 25

$- 25$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{4 - 6 i}{1 + 25}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

\frac{4 - 6 i}{1 + 25}

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

解题步骤 2.3.4

将

1

$1$ 和

25

$25$ 相加。

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

\frac{4 - 6 i}{26}

$\frac{4 - 6 i}{26}$

解题步骤 3

约去

4 - 6 i

$4 - 6 i$ 和

26

$26$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (2) - 6 i}{26}

$\frac{2 (2) - 6 i}{26}$

解题步骤 3.2

从

- 6 i

$- 6 i$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}

$\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}$

解题步骤 3.3

从

2 (2) + 2 (- 3 i)

$2 (2) + 2 (- 3 i)$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (2 - 3 i)}{26}

$\frac{2 (2 - 3 i)}{26}$

解题步骤 3.4

约去公因数。

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解题步骤 3.4.1

从

26

$26$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$\frac{2 - 3 i}{13}$

解题步骤 4

分解分数

$\frac{2 - 3 i}{13}$ 成为两个分数。

$\frac{2}{13} + \frac{- 3 i}{13}$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{13} - \frac{3 i}{13}$

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