初级微积分示例

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 9, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm 9, \pm 3

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

解题步骤 1.3

代入

3

$3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

0

$0$ ，所以

3

$3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将

3

$3$ 代入多项式。

3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

解题步骤 1.3.2

对

3

$3$ 进行

3

$3$ 次方运算。

27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

解题步骤 1.3.3

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

解题步骤 1.3.4

将

- 6

$- 6$ 乘以

9

$9$ 。

27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

解题步骤 1.3.5

从

27

$27$ 中减去

54

$54$ 。

- 27 + 12 \cdot 3 - 9

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

解题步骤 1.3.6

将

12

$12$ 乘以

3

$3$ 。

- 27 + 36 - 9

$- 27 + 36 - 9$

解题步骤 1.3.7

将

- 27

$- 27$ 和

36

$36$ 相加。

9 - 9

$9 - 9$

解题步骤 1.3.8

从

9

$9$ 中减去

9

$9$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 1.4

因为

3

$3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

x - 3

$x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

解题步骤 1.5

用

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ 除以

x - 3

$x - 3$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

9

$9$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项

x^{3}

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项

$- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$- 3 x^{2} + 9 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项

$3 x$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$3 x - 9$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$
										$0$

解题步骤 1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$x^{2} - 3 x + 3$

解题步骤 1.6

将

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

解题步骤 2

因为可以对多项式进行因式分解，所以该多项式不是一个素多项式。

非质数

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