初级微积分示例

$(0, 3)$ , $(4, 9)$ , $(- 4, 3)$

解题步骤 1

使用二次方程的标准形式 $y = a x^{2} + b x + c$ 作为求通过三个点的方程的起点。

$y = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 2

将每个点的 $x$ 和 $y$ 值代入一个二次方程的标准公式，以构建有三个方程的方程组，从而创建一个方程组。

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3

求解方程组以求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

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解题步骤 3.1

在 $3 = a \cdot 0^{2} + c$ 中求解 $c$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $a \cdot 0^{2} + c = 3$ 。

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2

化简 $a \cdot 0^{2} + c$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$a \cdot 0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $a$ 乘以 $0$ 。

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $c$ 相加。

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $c$ 替换成 $3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $3$ 替换 $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ 中所有出现的 $c$ .

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2

化简 $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

去掉圆括号。

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 = a \cdot 16 + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

将 $16$ 移到 $a$ 的左侧。

$9 = 16 \cdot a + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.3

将 $4$ 移到 $b$ 的左侧。

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.3

使用 $3$ 替换 $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$ 中所有出现的 $c$ .

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.2.4

化简 $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1.1

去掉圆括号。

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

将 $16$ 移到 $a$ 的左侧。

$3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2.1.3

将 $- 4$ 移到 $b$ 的左侧。

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3

在 $3 = 16 a - 4 b + 3$ 中求解 $a$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $16 a - 4 b + 3 = 3$ 。

$16 a - 4 b + 3 = 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $4 b$ 。

$16 a + 3 = 3 + 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$16 a = 3 + 4 b - 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.3

合并 $3 + 4 b - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.3.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$16 a = 4 b + 0$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.3.2

将 $4 b$ 和 $0$ 相加。

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3

将 $16 a = 4 b$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $16 a = 4 b$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1.1

从 $4 b$ 中分解出因数 $4$ 。

$a = \frac{4 (b)}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $a$ 替换成 $\frac{b}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\frac{b}{4}$ 替换 $9 = 16 a + 4 b + 3$ 中所有出现的 $a$ .

$9 = 16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 = 4 (4) (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去公因数。

$9 = 4 \cdot (4 (\frac{b}{4})) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

重写表达式。

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $4 b$ 和 $4 b$ 相加。

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5

在 $9 = 8 b + 3$ 中求解 $b$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $8 b + 3 = 9$ 。

$8 b + 3 = 9$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$8 b = 9 - 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3

将 $8 b = 6$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $8 b = 6$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

约去 $6$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$b = \frac{2 (3)}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $b$ 替换成 $\frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\frac{3}{4}$ 替换 $a = \frac{b}{4}$ 中所有出现的 $b$ .

$a = \frac{\frac{3}{4}}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 $\frac{\frac{3}{4}}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2.1.2

乘以 $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.2.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$a = \frac{3}{4 \cdot 4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$a = \frac{3}{16}, b = \frac{3}{4}, c = 3$

解题步骤 4

将 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的实际值代入公式中以得到一个二次方程从而求结果方程。

$y = \frac{3 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} + 3$

解题步骤 5

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