初级微积分示例

(0, 9)

$(0, 9)$ ,

(5, 4)

$(5, 4)$ ,

(1, 4)

$(1, 4)$

解题步骤 1

使用二次方程的标准形式

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$ 作为求通过三个点的方程的起点。

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 2

将每个点的

x

$x$ 和

y

$y$ 值代入一个二次方程的标准公式，以构建有三个方程的方程组，从而创建一个方程组。

9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c

$9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

解题步骤 3

求解方程组以求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

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解题步骤 3.1

在

9 = a \cdot 0^{2} + c

$9 = a \cdot 0^{2} + c$ 中求解

c

$c$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为

a \cdot 0^{2} + c = 9

$a \cdot 0^{2} + c = 9$ 。

a \cdot 0^{2} + c = 9

$a \cdot 0^{2} + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.1.2

化简

a \cdot 0^{2} + c

$a \cdot 0^{2} + c$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

a \cdot 0 + c = 9

$a \cdot 0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.1.2.1.2

将

a

$a$ 乘以

0

$0$ 。

0 + c = 9

$0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

0 + c = 9

$0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.1.2.2

将

0

$0$ 和

c

$c$ 相加。

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的

c

$c$ 替换成

9

$9$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用

9

$9$ 替换

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ 中所有出现的

c

$c$ .

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2.2

化简

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

去掉圆括号。

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

对

5

$5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

4 = a \cdot 25 + b (5) + 9

$4 = a \cdot 25 + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

将

25

$25$ 移到

a

$a$ 的左侧。

4 = 25 \cdot a + b (5) + 9

$4 = 25 \cdot a + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.3

将

5

$5$ 移到

b

$b$ 的左侧。

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

解题步骤 3.2.3

使用

9

$9$ 替换

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$ 中所有出现的

c

$c$ .

4 = a + b + 9

$4 = a + b + 9$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.2.4

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1

去掉圆括号。

4 = a + b + 9

$4 = a + b + 9$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + 9

$4 = a + b + 9$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + 9

$4 = a + b + 9$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.3

在

4 = a + b + 9

$4 = a + b + 9$ 中求解

a

$a$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为

a + b + 9 = 4

$a + b + 9 = 4$ 。

a + b + 9 = 4

$a + b + 9 = 4$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含

a

$a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去

b

$b$ 。

a + 9 = 4 - b

$a + 9 = 4 - b$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去

9

$9$ 。

a = 4 - b - 9

$a = 4 - b - 9$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.3.2.3

从

4

$4$ 中减去

9

$9$ 。

a = - b - 5

$a = - b - 5$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的

a

$a$ 替换成

- b - 5

$- b - 5$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用

- b - 5

$- b - 5$ 替换

4 = 25 a + 5 b + 9

$4 = 25 a + 5 b + 9$ 中所有出现的

a

$a$ .

4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9

$4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简

25 (- b - 5) + 5 b + 9

$25 (- b - 5) + 5 b + 9$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用分配律。

4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9

$4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

25

$25$ 。

4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9

$4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将

25

$25$ 乘以

- 5

$- 5$ 。

4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将

- 25 b

$- 25 b$ 和

5 b

$5 b$ 相加。

4 = - 20 b - 125 + 9

$4 = - 20 b - 125 + 9$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将

- 125

$- 125$ 和

9

$9$ 相加。

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.5

在

4 = - 20 b - 116

$4 = - 20 b - 116$ 中求解

b

$b$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为

- 20 b - 116 = 4

$- 20 b - 116 = 4$ 。

- 20 b - 116 = 4

$- 20 b - 116 = 4$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含

b

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上

116

$116$ 。

- 20 b = 4 + 116

$- 20 b = 4 + 116$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.5.2.2

将

4

$4$ 和

116

$116$ 相加。

- 20 b = 120

$- 20 b = 120$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

- 20 b = 120

$- 20 b = 120$

a = - b - 5

$a = - b - 5$

c = 9

$c = 9$

解题步骤 3.5.3

将

- 20 b = 120

$- 20 b = 120$ 中的每一项除以

- 20

$- 20$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将

$- 20 b = 120$ 中的每一项都除以

$- 20$ 。

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去

$- 20$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用

$b$ 除以

$1$ 。

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用

$120$ 除以

$- 20$ 。

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的

$b$ 替换成

$- 6$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用

$- 6$ 替换

$a = - b - 5$ 中所有出现的

$b$ .

$a = - (- 6) - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简

$- (- 6) - 5$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 6$ 。

$a = 6 - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

解题步骤 3.6.2.1.2

从

$6$ 中减去

$5$ 。

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$a = 1, b = - 6, c = 9$

解题步骤 4

将

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的实际值代入公式中以得到一个二次方程从而求结果方程。

$y = x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 5

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