初级微积分示例

(0, 3)

$(0, 3)$ ,

(4, 9)

$(4, 9)$ ,

(- 4, 3)

$(- 4, 3)$

解题步骤 1

使用二次方程的标准形式

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$ 作为求通过三个点的方程的起点。

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 2

将每个点的

x

$x$ 和

y

$y$ 值代入一个二次方程的标准公式，以构建有三个方程的方程组，从而创建一个方程组。

3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3

求解方程组以求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

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解题步骤 3.1

在

3 = a \cdot 0^{2} + c

$3 = a \cdot 0^{2} + c$ 中求解

c

$c$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为

a \cdot 0^{2} + c = 3

$a \cdot 0^{2} + c = 3$ 。

a \cdot 0^{2} + c = 3

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2

化简

a \cdot 0^{2} + c

$a \cdot 0^{2} + c$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

a \cdot 0 + c = 3

$a \cdot 0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2.1.2

将

a

$a$ 乘以

0

$0$ 。

0 + c = 3

$0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

0 + c = 3

$0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.1.2.2

将

0

$0$ 和

c

$c$ 相加。

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的

c

$c$ 替换成

3

$3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用

3

$3$ 替换

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ 中所有出现的

c

$c$ .

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2

化简

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

去掉圆括号。

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

9 = a \cdot 16 + b (4) + 3

$9 = a \cdot 16 + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

将

16

$16$ 移到

a

$a$ 的左侧。

9 = 16 \cdot a + b (4) + 3

$9 = 16 \cdot a + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.2.2.1.3

将

4

$4$ 移到

b

$b$ 的左侧。

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

解题步骤 3.2.3

使用

3

$3$ 替换

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$ 中所有出现的

c

$c$ .

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.2.4

化简

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1.1

去掉圆括号。

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对

- 4

$- 4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3

$3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

将

16

$16$ 移到

a

$a$ 的左侧。

3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3

$3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.2.4.2.1.3

将

- 4

$- 4$ 移到

b

$b$ 的左侧。

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3

在

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$ 中求解

a

$a$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为

16 a - 4 b + 3 = 3

$16 a - 4 b + 3 = 3$ 。

16 a - 4 b + 3 = 3

$16 a - 4 b + 3 = 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含

a

$a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上

4 b

$4 b$ 。

16 a + 3 = 3 + 4 b

$16 a + 3 = 3 + 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

16 a = 3 + 4 b - 3

$16 a = 3 + 4 b - 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.3

合并

3 + 4 b - 3

$3 + 4 b - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.3.1

从

3

$3$ 中减去

3

$3$ 。

16 a = 4 b + 0

$16 a = 4 b + 0$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.2.3.2

将

4 b

$4 b$ 和

0

$0$ 相加。

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.3

将

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$ 中的每一项除以

16

$16$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$ 中的每一项都除以

16

$16$ 。

\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去

16

$16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用

$a$ 除以

$1$ 。

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

约去

$4$ 和

$16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1.1

从

$4 b$ 中分解出因数

$4$ 。

$a = \frac{4 (b)}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1.2.1

从

$16$ 中分解出因数

$4$ 。

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的

$a$ 替换成

$\frac{b}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用

$\frac{b}{4}$ 替换

$9 = 16 a + 4 b + 3$ 中所有出现的

$a$ .

$9 = 16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简

$16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

从

$16$ 中分解出因数

$4$ 。

$9 = 4 (4) (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去公因数。

$9 = 4 \cdot (4 (\frac{b}{4})) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

重写表达式。

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.4.2.1.2

将

$4 b$ 和

$4 b$ 相加。

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5

在

$9 = 8 b + 3$ 中求解

$b$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为

$8 b + 3 = 9$ 。

$8 b + 3 = 9$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去

$3$ 。

$8 b = 9 - 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.2.2

从

$9$ 中减去

$3$ 。

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3

将

$8 b = 6$ 中的每一项除以

$8$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将

$8 b = 6$ 中的每一项都除以

$8$ 。

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去

$8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用

$b$ 除以

$1$ 。

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

约去

$6$ 和

$8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.1

从

$6$ 中分解出因数

$2$ 。

$b = \frac{2 (3)}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.3.1.2.1

从

$8$ 中分解出因数

$2$ 。

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的

$b$ 替换成

$\frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用

$\frac{3}{4}$ 替换

$a = \frac{b}{4}$ 中所有出现的

$b$ .

$a = \frac{\frac{3}{4}}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简

$\frac{\frac{3}{4}}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2.1.2

乘以

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.2.1

将

$\frac{3}{4}$ 乘以

$\frac{1}{4}$ 。

$a = \frac{3}{4 \cdot 4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.6.2.1.2.2

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$a = \frac{3}{16}, b = \frac{3}{4}, c = 3$

解题步骤 4

将

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的实际值代入公式中以得到一个二次方程从而求结果方程。

$y = \frac{3 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} + 3$

解题步骤 5

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初级微积分 示例

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