初级微积分示例

$f (x) = 3 x + 5$ ,

$g (x) = x^{3}$ ,

$(g \circ f)$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$g (f (x))$

解题步骤 2

通过将

$f$ 的值代入

$g$ 来计算

$g (3 x + 5)$ 。

$g (3 x + 5) = {(3 x + 5)}^{3}$

解题步骤 3

使用二项式定理。

$g (3 x + 5) = {(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

对

$3 x$ 运用乘积法则。

$g (3 x + 5) = 3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.2

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.3

对

$3 x$ 运用乘积法则。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.4

通过指数相加将

$3$ 乘以

$3^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动

$3^{2}$ 。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2} \cdot (3 x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.4.2

将

$3^{2}$ 乘以

$3$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

对

$3$ 进行

$1$ 次方运算。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2} \cdot (3 x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.4.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.4.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.5

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.6

将

$5$ 乘以

$27$ 。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.7

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 9 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

解题步骤 4.8

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 9 x \cdot 25 + 5^{3}$

解题步骤 4.9

将

$25$ 乘以

$9$ 。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 225 x + 5^{3}$

解题步骤 4.10

对

$5$ 进行

$3$ 次方运算。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 225 x + 125$

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