初级微积分 示例
f(x)=x3f(x)=x3
解题步骤 1
将 f(x)=x3f(x)=x3 写为等式。
y=x3y=x3
解题步骤 2
交换变量。
x=y3x=y3
解题步骤 3
解题步骤 3.1
将方程重写为 y3=xy3=x。
y3=xy3=x
解题步骤 3.2
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
y=3√xy=3√x
y=3√xy=3√x
解题步骤 4
使用 f-1(x)f−1(x) 替换 yy，以得到最终答案。
f-1(x)=3√xf−1(x)=3√x
解题步骤 5
解题步骤 5.1
要验证反函数，请检查 f-1(f(x))=xf−1(f(x))=x 和 f(f-1(x))=xf(f−1(x))=x 是否成立。
解题步骤 5.2
计算 f-1(f(x))f−1(f(x))。
解题步骤 5.2.1
建立复合结果函数。
f-1(f(x))f−1(f(x))
解题步骤 5.2.2
通过将 ff 的值代入 f-1f−1 来计算 f-1(x3)f−1(x3)。
f-1(x3)=3√x3f−1(x3)=3√x3
解题步骤 5.2.3
去掉圆括号。
f-1(x3)=3√x3f−1(x3)=3√x3
解题步骤 5.2.4
假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。
f-1(x3)=xf−1(x3)=x
f-1(x3)=xf−1(x3)=x
解题步骤 5.3
计算 f(f-1(x))f(f−1(x))。
解题步骤 5.3.1
建立复合结果函数。
f(f-1(x))f(f−1(x))
解题步骤 5.3.2
通过将 f-1f−1 的值代入 ff 来计算 f(3√x)f(3√x)。
f(3√x)=(3√x)3f(3√x)=(3√x)3
解题步骤 5.3.3
将 3√x33√x3 重写为 xx。
解题步骤 5.3.3.1
使用 n√ax=axnn√ax=axn，将3√x3√x 重写成 x13x13。
f(3√x)=(x13)3f(3√x)=(x13)3
解题步骤 5.3.3.2
运用幂法则并将指数相乘，(am)n=amn(am)n=amn。
f(3√x)=x13⋅3f(3√x)=x13⋅3
解题步骤 5.3.3.3
组合 1313 和 33。
f(3√x)=x33f(3√x)=x33
解题步骤 5.3.3.4
约去 33 的公因数。
解题步骤 5.3.3.4.1
约去公因数。
f(3√x)=x33
解题步骤 5.3.3.4.2
重写表达式。
f(3√x)=x
f(3√x)=x
解题步骤 5.3.3.5
化简。
f(3√x)=x
f(3√x)=x
f(3√x)=x
解题步骤 5.4
由于f-1(f(x))=x 和 f(f-1(x))=x，因此 f-1(x)=3√x 为 f(x)=x3 的反函数。
f-1(x)=3√x
f-1(x)=3√x
