初级微积分示例

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$

解题步骤 1

将

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ 写为等式。

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

解题步骤 2

交换变量。

x = \sqrt{y}

$x = \sqrt{y}$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

\sqrt{y} = x

$\sqrt{y} = x$ 。

\sqrt{y} = x

$\sqrt{y} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

{\sqrt{y}}^{2} = x^{2}

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ 重写成

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ 。

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将

{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

y^{1} = x^{2}

$y^{1} = x^{2}$

y^{1} = x^{2}

$y^{1} = x^{2}$

y^{1} = x^{2}

$y^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

y = x^{2}

$y = x^{2}$

y = x^{2}

$y = x^{2}$

y = x^{2}

$y = x^{2}$

y = x^{2}

$y = x^{2}$

y = x^{2}

$y = x^{2}$

解题步骤 4

使用

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ 替换

y

$y$ ，以得到最终答案。

f^{- 1} (x) = x^{2}

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

解题步骤 5

验证

f^{- 1} (x) = x^{2}

$f^{- 1} (x) = x^{2}$ 是否为

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

f

$f$ 的值代入

f^{- 1}

$f^{- 1}$ 来计算

f^{- 1} (\sqrt{x})

$f^{- 1} (\sqrt{x})$ 。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(\sqrt{x})}^{2}

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(\sqrt{x})}^{2}$

解题步骤 5.2.3

将

{\sqrt{x}}^{2}

${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为

x

$x$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ 重写成

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.2.3.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

解题步骤 5.2.3.5

化简。

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

f^{- 1} (\sqrt{x}) = x

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

解题步骤 5.3

计算

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

f^{- 1}

$f^{- 1}$ 的值代入

f

$f$ 来计算

f (x^{2})

$f (x^{2})$ 。

f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

f (x^{2}) = x

$f (x^{2}) = x$

f (x^{2}) = x

$f (x^{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

f^{- 1} (x) = x^{2}

$f^{- 1} (x) = x^{2}$ 为

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ 的反函数。

f^{- 1} (x) = x^{2}

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

f^{- 1} (x) = x^{2}

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

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