初级微积分示例

[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1

乘以

[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ 。

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解题步骤 1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是

2 \times 2

$2 \times 2$ ，第二个矩阵是

2 \times 1

$2 \times 1$ 。

解题步骤 1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 2

写成线性方程组。

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在

2 x + 3 y = 1

$2 x + 3 y = 1$ 中求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去

3 y

$3 y$ 。

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2

将

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将

2 x = 1 - 3 y

$2 x = 1 - 3 y$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的

x

$x$ 替换成

\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用

\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 替换

4 x + 7 y = 1

$4 x + 7 y = 1$ 中所有出现的

x

$x$ .

4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简

4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

4 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$4 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.3.1

将

- \frac{3 y}{2}

$- \frac{3 y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

2 + 4 (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 + 4 (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.2

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

2 + 2 (2) (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1

$2 + 2 (2) (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.3

约去公因数。

2 + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 y}{2})) + 7 y = 1

$2 + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 y}{2})) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.4

重写表达式。

2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

将

- 3

$- 3$ 乘以

2

$2$ 。

2 - 6 y + 7 y = 1

$2 - 6 y + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 - 6 y + 7 y = 1

$2 - 6 y + 7 y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将

- 6 y

$- 6 y$ 和

7 y

$7 y$ 相加。

2 + y = 1

$2 + y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 + y = 1

$2 + y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 + y = 1

$2 + y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

2 + y = 1

$2 + y = 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.3

将所有不包含

y

$y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去

2

$2$ 。

y = 1 - 2

$y = 1 - 2$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.3.2

从

1

$1$ 中减去

2

$2$ 。

y = - 1

$y = - 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

y = - 1

$y = - 1$

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的

y

$y$ 替换成

- 1

$- 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用

- 1

$- 1$ 替换

x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 中所有出现的

y

$y$ .

x = \frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简

\frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}

$\frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

在公分母上合并分子。

x = \frac{1 - 3 \cdot - 1}{2}

$x = \frac{1 - 3 \cdot - 1}{2}$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将

- 3

$- 3$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{1 + 3}{2}

$x = \frac{1 + 3}{2}$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将

1

$1$ 和

3

$3$ 相加。

x = \frac{4}{2}

$x = \frac{4}{2}$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

用

4

$4$ 除以

2

$2$ 。

x = 2

$x = 2$

y = - 1

$y = - 1$

x = 2

$x = 2$

y = - 1

$y = - 1$

x = 2

$x = 2$

y = - 1

$y = - 1$

x = 2

$x = 2$

y = - 1

$y = - 1$

x = 2

$x = 2$

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 3.5

列出所有解。

x = 2, y = - 1

$x = 2, y = - 1$

x = 2, y = - 1

$x = 2, y = - 1$

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