初级微积分示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 3 & 7 & - 1 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 & 1 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1.2

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.2.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 1.2.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & - 5 & - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 1.3.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 9 & 18 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.4

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.4.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 4 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.5.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

主元位置是每行中以

1

$1$ 开头的位置。主元列是含主元位置的列。

主元位置：

a_{11}

$a_{11}$ 和

a_{22}

$a_{22}$

主元列：

1

$1$ 和

2

$2$

解题步骤 3

矩阵列空间的底数是通过考虑原始矩阵中相应主元列而形成的。

Col (A)

$Col (A)$ 的维数是

Col (A)

$Col (A)$ 的底数中向量的个数。

Col (A)

$Col (A)$ 的底数：

Col (A)

$Col (A)$

Col (A)

$Col (A)$ 的维数：

2

$2$

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