初级微积分示例

$f (x) = x^{3} - 1$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x^{3} - 1$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x^{3} - 1 = 0$ 。

$x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{3} = 1$

解题步骤 1.2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.3

化简。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.3.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 1.2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.7

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(1, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = {(0)}^{3} - 1$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0^{3} - 1$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{3} - 1$

解题步骤 2.2.3

化简 ${(0)}^{3} - 1$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 1$

解题步骤 2.2.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 1)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(1, 0)$

y 轴截距： $(0, - 1)$

解题步骤 4

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