初级微积分示例

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = - \frac{3}{10}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{3}{10})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{10}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{10}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.1.2

对 $\frac{3}{10}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.3

将 $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.5

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.6

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从 $100$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.7

乘以 $3 (- \frac{3}{10})$ 。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

解题步骤 3.2.1.7.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

解题步骤 3.2.1.7.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

解题步骤 3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\frac{9}{10}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{9}{10}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

解题步骤 3.2.2.3

将 $- 7$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将 $\frac{- 7}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{- 7}{1}$ 乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

解题步骤 3.2.2.6

重新排序 $10 \cdot 2$ 的因式。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

解题步骤 3.2.2.7

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $- 7$ 乘以 $20$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

解题步骤 3.2.5.2

从 $- 9$ 中减去 $140$ 。

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{149}{20}$ 。

$- \frac{149}{20}$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

解题步骤 5

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