初级微积分示例

\frac{1}{2} \cdot \sin (x)

$\frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

解题步骤 1

使用

a \sin (b x - c) + d

$a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$

b = 1

$b = 1$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅

| a |

$| a |$ 。

振幅：

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3

求

\frac{\sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x)}{2}$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

解题步骤 4

使用公式

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ 计算。

相移：

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中

c

$c$ 和

b

$b$ 的值。

相移：

\frac{0}{1}

$\frac{0}{1}$

解题步骤 4.3

用

0

$0$ 除以

1

$1$ 。

相移：

0

$0$

相移：

0

$0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅：

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

周期：

2 π

$2 π$

相移：无

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在

x = 0

$x = 0$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

f (0) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (0) = \frac{\sin (0)}{2}$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

f (0) = \frac{0}{2}

$f (0) = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.1.2.2

用

0

$0$ 除以

2

$2$ 。

f (0) = 0

$f (0) = 0$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 6.2

求在

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 替换变量

x

$x$ 。

f (\frac{π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

\sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

1

$1$ 。

f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

最终答案为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

求在

x = π

$x = π$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的

π

$π$ 替换变量

x

$x$ 。

f (π) = \frac{\sin (π)}{2}

$f (π) = \frac{\sin (π)}{2}$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.3.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

f (π) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (π) = \frac{\sin (0)}{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

f (π) = \frac{0}{2}

$f (π) = \frac{0}{2}$

f (π) = \frac{0}{2}

$f (π) = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.3.2.2

用

0

$0$ 除以

2

$2$ 。

f (π) = 0

$f (π) = 0$

解题步骤 6.3.2.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 6.4

求在

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ 替换变量

x

$x$ 。

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2

\sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

1

$1$ 。

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}$

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.4.2.2

将负号移到分数的前面。

f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.4.2.3

最终答案为

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ 。

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 6.5

求在

x = 2 π

$x = 2 π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的

2 π

$2 π$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2 π) = \frac{\sin (2 π)}{2}

$f (2 π) = \frac{\sin (2 π)}{2}$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.5.2.1.1

减去

2 π

$2 π$ 的全角，直至角度大于等于

0

$0$ 且小于

2 π

$2 π$ 。

f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2}$

解题步骤 6.5.2.1.2

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

f (2 π) = \frac{0}{2}

$f (2 π) = \frac{0}{2}$

f (2 π) = \frac{0}{2}

$f (2 π) = \frac{0}{2}$

解题步骤 6.5.2.2

用

0

$0$ 除以

2

$2$ 。

f (2 π) = 0

$f (2 π) = 0$

解题步骤 6.5.2.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅：

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

周期：

2 π

$2 π$

相移：无

垂直位移：无

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

解题步骤 8

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