初级微积分示例

$x^{2} - 5 x + 3$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} - 5 x + 3$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 3$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{5}{2}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 3 - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.4.2.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{12 - 25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5.2

从 $12$ 中减去 $25$ 。

$e = \frac{- 13}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$ 。

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

解题步骤 1.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\frac{5}{2}, - 3)$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴： $x = \frac{5}{2}$

准线： $y = - \frac{7}{2}$

方向：开口向上

顶点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴： $x = \frac{5}{2}$

准线： $y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 5 + 3$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = - 4 + 3$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = - 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3$

解题步骤 2.5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 3$

解题步骤 2.5.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 3$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (0) = 3$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 0$ 处的值为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3$

解题步骤 2.8.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 9 - 15 + 3$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $9$ 中减去 $15$ 。

$f (3) = - 6 + 3$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$f (3) = - 3$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3$

解题步骤 2.11.1.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 16 - 20 + 3$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

从 $16$ 中减去 $20$ 。

$f (4) = - 4 + 3$

解题步骤 2.11.2.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$f (4) = - 1$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点： $(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴： $x = \frac{5}{2}$

准线： $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 4

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