初级微积分示例

f (x) = 3 x^{2} - 5

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

解题步骤 1

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 5

$p = \pm 1, \pm 5$

q = \pm 1, \pm 3

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

解题步骤 2

当

x = 5

$x = 5$ 时，对

\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 2.2

将被除数

(3)

$(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

解题步骤 2.3

将结果

(3)

$(3)$ 中的最新项乘以除数

(5)

$(5)$ 并将

(15)

$(15)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$
	$3$ $3$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$
	$3$ $3$	$15$ $15$

解题步骤 2.5

将结果

(15)

$(15)$ 中的最新项乘以除数

(5)

$(5)$ 并将

(75)

$(75)$ 的结果置于被除数

(- 5)

$(- 5)$ 的下一项下方。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$15$ $15$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$ $5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$15$ $15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$15$ $15$	$70$ $70$

解题步骤 2.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

解题步骤 2.8

化简商多项式。

3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

解题步骤 3

因为

5 > 0

$5 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

5

$5$ 是函数实根的上界。

上界：

5

$5$

解题步骤 4

当

x = - 5

$x = - 5$ 时，对

\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 4.2

将被除数

(3)

$(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

解题步骤 4.3

将结果

(3)

$(3)$ 中的最新项乘以除数

(- 5)

$(- 5)$ 并将

(- 15)

$(- 15)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$
	$3$ $3$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$

解题步骤 4.5

将结果

(- 15)

$(- 15)$ 中的最新项乘以除数

(- 5)

$(- 5)$ 并将

(75)

$(75)$ 的结果置于被除数

(- 5)

$(- 5)$ 的下一项下方。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 5$ $- 5$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 15$ $- 15$	$75$ $75$
	$3$ $3$	$- 15$ $- 15$	$70$ $70$

解题步骤 4.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

解题步骤 4.8

化简商多项式。

3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

解题步骤 5

因为

- 5 < 0

$- 5 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

- 5

$- 5$ 是函数实根的下界。

下界：

- 5

$- 5$

解题步骤 6

当

x = \frac{5}{3}

$x = \frac{5}{3}$ 时，对

\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 6.2

将被除数

(3)

$(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

解题步骤 6.3

将结果

(3)

$(3)$ 中的最新项乘以除数

(\frac{5}{3})

$(\frac{5}{3})$ 并将

(5)

$(5)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$
	$3$ $3$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$
	$3$ $3$	$5$ $5$

解题步骤 6.5

将结果

(5)

$(5)$ 中的最新项乘以除数

(\frac{5}{3})

$(\frac{5}{3})$ 并将

(\frac{25}{3})

$(\frac{25}{3})$ 的结果置于被除数

(- 5)

$(- 5)$ 的下一项下方。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$5$ $5$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$5$ $5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$5$ $5$	$\frac{10}{3}$ $\frac{10}{3}$

解题步骤 6.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

解题步骤 6.8

化简商多项式。

3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

解题步骤 7

因为

\frac{5}{3} > 0

$\frac{5}{3} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ 是函数实根的上界。

上界：

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

解题步骤 8

当

x = - \frac{5}{3}

$x = - \frac{5}{3}$ 时，对

\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}

$\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 8.2

将被除数

(3)

$(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$

	$3$ $3$

解题步骤 8.3

将结果

(3)

$(3)$ 中的最新项乘以除数

(- \frac{5}{3})

$(- \frac{5}{3})$ 并将

(- 5)

$(- 5)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$
	$3$ $3$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 8.5

将结果

(- 5)

$(- 5)$ 中的最新项乘以除数

(- \frac{5}{3})

$(- \frac{5}{3})$ 并将

(\frac{25}{3})

$(\frac{25}{3})$ 的结果置于被除数

(- 5)

$(- 5)$ 的下一项下方。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{5}{3}$ $- \frac{5}{3}$	$3$ $3$	$0$ $0$	$- 5$ $- 5$
		$- 5$ $- 5$	$\frac{25}{3}$ $\frac{25}{3}$
	$3$ $3$	$- 5$ $- 5$	$\frac{10}{3}$ $\frac{10}{3}$

解题步骤 8.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

解题步骤 8.8

化简商多项式。

3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

解题步骤 9

因为

- \frac{5}{3} < 0

$- \frac{5}{3} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

- \frac{5}{3}

$- \frac{5}{3}$ 是函数实根的下界。

下界：

- \frac{5}{3}

$- \frac{5}{3}$

解题步骤 10

确定上界与下界。

上界：

5, \frac{5}{3}

$5, \frac{5}{3}$

下界：

- 5, - \frac{5}{3}

$- 5, - \frac{5}{3}$

解题步骤 11

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