初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{2} - 7$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

解题步骤 2

当 $x = 7$ 时，对 $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$7$	$2$	$0$	$- 7$

解题步骤 2.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

解题步骤 2.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(14)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

解题步骤 2.5

将结果 $(14)$ 中的最新项乘以除数 $(7)$ 并将 $(98)$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

解题步骤 2.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

解题步骤 2.8

化简商多项式。

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

解题步骤 3

因为 $7 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $7$ 是函数实根的上界。

上界： $7$

解题步骤 4

当 $x = - 7$ 时，对 $\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

解题步骤 4.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

解题步骤 4.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 14)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

解题步骤 4.5

将结果 $(- 14)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(98)$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

解题步骤 4.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

解题步骤 4.8

化简商多项式。

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

解题步骤 5

因为 $- 7 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 7$ 是函数实根的下界。

下界： $- 7$

解题步骤 6

当 $x = \frac{7}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

解题步骤 6.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

解题步骤 6.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{7}{2})$ 并将 $(7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

解题步骤 6.5

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{7}{2})$ 并将 $(\frac{49}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

解题步骤 6.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

解题步骤 6.8

化简商多项式。

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

解题步骤 7

因为 $\frac{7}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{7}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{7}{2}$

解题步骤 8

当 $x = - \frac{7}{2}$ 时，对 $\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

解题步骤 8.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

解题步骤 8.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{7}{2})$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

解题步骤 8.5

将结果 $(- 7)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{7}{2})$ 并将 $(\frac{49}{2})$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

解题步骤 8.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

解题步骤 8.8

化简商多项式。

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

解题步骤 9

因为 $- \frac{7}{2} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{7}{2}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{7}{2}$

解题步骤 10

确定上界与下界。

上界： $7, \frac{7}{2}$

下界： $- 7, - \frac{7}{2}$

解题步骤 11

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