初级微积分示例

$f (x) = x^{2} - 3$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3$

解题步骤 2

当 $x = 3$ 时，对 $\frac{x^{2} - 3}{x - 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$3$	$1$	$0$	$- 3$

解题步骤 2.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

解题步骤 2.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(3)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$	$3$

解题步骤 2.5

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(9)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$6$

解题步骤 2.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(1) x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

解题步骤 2.8

化简商多项式。

$x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

解题步骤 3

因为 $3 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $3$ 是函数实根的上界。

上界： $3$

解题步骤 4

当 $x = - 3$ 时，对 $\frac{x^{2} - 3}{x + 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

解题步骤 4.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

解题步骤 4.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$	$- 3$

解题步骤 4.5

将结果 $(- 3)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(9)$ 的结果置于被除数 $(- 3)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$	$6$

解题步骤 4.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(1) x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

解题步骤 4.8

化简商多项式。

$x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

解题步骤 5

因为 $- 3 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 3$ 是函数实根的下界。

下界： $- 3$

解题步骤 6

确定上界与下界。

上界： $3$

下界： $- 3$

解题步骤 7

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