初级微积分示例

f (x) = 13 x^{2} - 2

$f (x) = 13 x^{2} - 2$

解题步骤 1

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 2

$p = \pm 1, \pm 2$

q = \pm 1, \pm 13

$q = \pm 1, \pm 13$

解题步骤 1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

解题步骤 2

当

x = 1

$x = 1$ 时，对

\frac{13 x^{2} - 2}{x - 1}

$\frac{13 x^{2} - 2}{x - 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

解题步骤 2.2

将被除数

(13)

$(13)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

	$13$ $13$

解题步骤 2.3

将结果

(13)

$(13)$ 中的最新项乘以除数

(1)

$(1)$ 并将

(13)

$(13)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$13$ $13$
	$13$ $13$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$13$ $13$
	$13$ $13$	$13$ $13$

解题步骤 2.5

将结果

(13)

$(13)$ 中的最新项乘以除数

(1)

$(1)$ 并将

(13)

$(13)$ 的结果置于被除数

(- 2)

$(- 2)$ 的下一项下方。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$13$ $13$	$13$ $13$
	$13$ $13$	$13$ $13$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$ $1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$13$ $13$	$13$ $13$
	$13$ $13$	$13$ $13$	$11$ $11$

解题步骤 2.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(13) x + 13 + \frac{11}{x - 1}

$(13) x + 13 + \frac{11}{x - 1}$

解题步骤 2.8

化简商多项式。

13 x + 13 + \frac{11}{x - 1}

$13 x + 13 + \frac{11}{x - 1}$

13 x + 13 + \frac{11}{x - 1}

$13 x + 13 + \frac{11}{x - 1}$

解题步骤 3

因为

1 > 0

$1 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

1

$1$ 是函数实根的上界。

上界：

1

$1$

解题步骤 4

当

x = - 1

$x = - 1$ 时，对

\frac{13 x^{2} - 2}{x + 1}

$\frac{13 x^{2} - 2}{x + 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

解题步骤 4.2

将被除数

(13)

$(13)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

	$13$ $13$

解题步骤 4.3

将结果

(13)

$(13)$ 中的最新项乘以除数

(- 1)

$(- 1)$ 并将

(- 13)

$(- 13)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 13$ $- 13$
	$13$ $13$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 13$ $- 13$
	$13$ $13$	$- 13$ $- 13$

解题步骤 4.5

将结果

(- 13)

$(- 13)$ 中的最新项乘以除数

(- 1)

$(- 1)$ 并将

(13)

$(13)$ 的结果置于被除数

(- 2)

$(- 2)$ 的下一项下方。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 13$ $- 13$	$13$ $13$
	$13$ $13$	$- 13$ $- 13$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$ $- 1$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 13$ $- 13$	$13$ $13$
	$13$ $13$	$- 13$ $- 13$	$11$ $11$

解题步骤 4.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(13) x - 13 + \frac{11}{x + 1}

$(13) x - 13 + \frac{11}{x + 1}$

解题步骤 4.8

化简商多项式。

13 x - 13 + \frac{11}{x + 1}

$13 x - 13 + \frac{11}{x + 1}$

13 x - 13 + \frac{11}{x + 1}

$13 x - 13 + \frac{11}{x + 1}$

解题步骤 5

因为

- 1 < 0

$- 1 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

- 1

$- 1$ 是函数实根的下界。

下界：

- 1

$- 1$

解题步骤 6

当

x = 2

$x = 2$ 时，对

\frac{13 x^{2} - 2}{x - 2}

$\frac{13 x^{2} - 2}{x - 2}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

解题步骤 6.2

将被除数

(13)

$(13)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

	$13$ $13$

解题步骤 6.3

将结果

(13)

$(13)$ 中的最新项乘以除数

(2)

$(2)$ 并将

(26)

$(26)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$26$ $26$
	$13$ $13$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$26$ $26$
	$13$ $13$	$26$ $26$

解题步骤 6.5

将结果

(26)

$(26)$ 中的最新项乘以除数

(2)

$(2)$ 并将

(52)

$(52)$ 的结果置于被除数

(- 2)

$(- 2)$ 的下一项下方。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$26$ $26$	$52$ $52$
	$13$ $13$	$26$ $26$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$ $2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$26$ $26$	$52$ $52$
	$13$ $13$	$26$ $26$	$50$ $50$

解题步骤 6.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(13) x + 26 + \frac{50}{x - 2}

$(13) x + 26 + \frac{50}{x - 2}$

解题步骤 6.8

化简商多项式。

13 x + 26 + \frac{50}{x - 2}

$13 x + 26 + \frac{50}{x - 2}$

13 x + 26 + \frac{50}{x - 2}

$13 x + 26 + \frac{50}{x - 2}$

解题步骤 7

因为

2 > 0

$2 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

2

$2$ 是函数实根的上界。

上界：

2

$2$

解题步骤 8

当

x = - 2

$x = - 2$ 时，对

\frac{13 x^{2} - 2}{x + 2}

$\frac{13 x^{2} - 2}{x + 2}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

解题步骤 8.2

将被除数

(13)

$(13)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$

	$13$ $13$

解题步骤 8.3

将结果

(13)

$(13)$ 中的最新项乘以除数

(- 2)

$(- 2)$ 并将

(- 26)

$(- 26)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 26$ $- 26$
	$13$ $13$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 26$ $- 26$
	$13$ $13$	$- 26$ $- 26$

解题步骤 8.5

将结果

(- 26)

$(- 26)$ 中的最新项乘以除数

(- 2)

$(- 2)$ 并将

(52)

$(52)$ 的结果置于被除数

(- 2)

$(- 2)$ 的下一项下方。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 26$ $- 26$	$52$ $52$
	$13$ $13$	$- 26$ $- 26$

解题步骤 8.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$ $- 2$	$13$ $13$	$0$ $0$	$- 2$ $- 2$
		$- 26$ $- 26$	$52$ $52$
	$13$ $13$	$- 26$ $- 26$	$50$ $50$

解题步骤 8.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(13) x - 26 + \frac{50}{x + 2}

$(13) x - 26 + \frac{50}{x + 2}$

解题步骤 8.8

化简商多项式。

13 x - 26 + \frac{50}{x + 2}

$13 x - 26 + \frac{50}{x + 2}$

13 x - 26 + \frac{50}{x + 2}

$13 x - 26 + \frac{50}{x + 2}$

解题步骤 9

因为

- 2 < 0

$- 2 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

- 2

$- 2$ 是函数实根的下界。

下界：

- 2

$- 2$

解题步骤 10

确定上界与下界。

上界：

1, 2

$1, 2$

下界：

- 1, - 2

$- 1, - 2$

解题步骤 11

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