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初级微积分示例

y = \frac{1}{x^{2} - 1}

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式

\frac{1}{x^{2} - 1}

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ 无定义。

x = - 1, x = 1

$x = - 1, x = 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

- 1

$- 1$ 时，

\frac{1}{x^{2} - 1}

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

- 1

$- 1$ 时，

\frac{1}{x^{2} - 1}

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，因此

x = - 1

$x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

x = - 1

$x = - 1$

解题步骤 3

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ 时，

\frac{1}{x^{2} - 1}

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ 时，

\frac{1}{x^{2} - 1}

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，因此

x = 1

$x = 1$ 是一条垂直渐近线。

x = 1

$x = 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

x = - 1, 1

$x = - 1, 1$

解题步骤 5

思考一下有理函数

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中

n

$n$ 是分子的幂，

m

$m$ 是分母的幂。

1. 如果

n < m

$n < m$ ，那么 X 轴，即

y = 0

$y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果

n = m

$n = m$ ，那么水平渐近线为直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果

n > m

$n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求

n

$n$ 和

m

$m$ 。

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

解题步骤 7

因为

n < m

$n < m$ ，所以 x 轴、

y = 0

$y = 0$ 是水平渐近线。

y = 0

$y = 0$

解题步骤 8

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = - 1, 1

$x = - 1, 1$

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 10

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$