初级微积分示例

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

5

$5$ 。

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

解题步骤 2

对

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 3

$a = 3$

b = - 6

$b = - 6$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去

- 6

$- 6$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从

- 6

$- 6$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

d = \frac{- 3}{3}

$d = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

约去

- 3

$- 3$ 和

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从

- 3

$- 3$ 中分解出因数

3

$3$ 。

d = \frac{3 \cdot - 1}{3}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从

3

$3$ 中分解出因数

3

$3$ 。

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

d = \frac{- 1}{1}

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用

- 1

$- 1$ 除以

1

$1$ 。

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

解题步骤 2.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对

- 6

$- 6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

3

$3$ 。

e = 0 - \frac{36}{12}

$e = 0 - \frac{36}{12}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用

36

$36$ 除以

12

$12$ 。

e = 0 - 1 \cdot 3

$e = 0 - 1 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

e = 0 - 3

$e = 0 - 3$

解题步骤 2.4.2.2

从

0

$0$ 中减去

3

$3$ 。

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

e = - 3

$e = - 3$

解题步骤 2.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ 。

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

解题步骤 3

在方程

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ 中，用

3 {(x - 1)}^{2} - 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ 代替

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ 。

3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上

3

$3$ 的方法来将

- 3

$- 3$ 移到等式右边。

3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

解题步骤 5

对

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

8

$8$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从

8

$8$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 5.3.2.2

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

d = \frac{4}{4}

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

解题步骤 5.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对

8

$8$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

4

$4$ 。

e = 0 - \frac{64}{16}

$e = 0 - \frac{64}{16}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用

64

$64$ 除以

16

$16$ 。

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

解题步骤 5.4.2.2

从

0

$0$ 中减去

4

$4$ 。

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

解题步骤 5.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ 。

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

解题步骤 6

在方程

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ 中，用

4 {(y + 1)}^{2} - 4

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ 代替

4 y^{2} + 8 y

$4 y^{2} + 8 y$ 。

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上

4

$4$ 的方法来将

- 4

$- 4$ 移到等式右边。

3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

解题步骤 8

化简

$5 + 3 + 4$ 。

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解题步骤 8.1

将

$5$ 和

$3$ 相加。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

解题步骤 8.2

将

$8$ 和

$4$ 相加。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

解题步骤 9

将每一项除以

$12$ 以使方程右边等于一。

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

$1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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