初级微积分示例

x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

98

$98$ 。

x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$

解题步骤 2

对

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = 2

$b = 2$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 2.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.3

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 2.4.2.2

从

$0$ 中减去

$1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 2.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

${(x + 1)}^{2} - 1$ 。

${(x + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 3

在方程

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ 中，用

${(x + 1)}^{2} - 1$ 代替

$x^{2} + 2 x$ 。

${(x + 1)}^{2} - 1 - 9 y^{2} - 54 y = 98$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上

$1$ 的方法来将

$- 1$ 移到等式右边。

${(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 98 + 1$

解题步骤 5

对

$- 9 y^{2} - 54 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

$- 54$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从

$- 54$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从

$2 \cdot - 9$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 27}{- 9}$

解题步骤 5.3.2.2

约去

$- 27$ 和

$- 9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从

$- 27$ 中分解出因数

$- 9$ 。

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

从

$- 9$ 中分解出因数

$- 9$ 。

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.4

用

$3$ 除以

$1$ 。

$d = 3$

解题步骤 5.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对

$- 54$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$- 9$ 。

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用

$2916$ 除以

$- 36$ 。

$e = 0 - - 81$

解题步骤 5.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$- 81$ 。

$e = 0 + 81$

解题步骤 5.4.2.2

将

$0$ 和

$81$ 相加。

$e = 81$

解题步骤 5.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ 。

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

解题步骤 6

在方程

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ 中，用

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ 代替

$- 9 y^{2} - 54 y$ 。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 98 + 1$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上

$81$ 的方法来将

$81$ 移到等式右边。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 98 + 1 - 81$

解题步骤 8

化简

$98 + 1 - 81$ 。

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解题步骤 8.1

将

$98$ 和

$1$ 相加。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 99 - 81$

解题步骤 8.2

从

$99$ 中减去

$81$ 。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 18$

解题步骤 9

将每一项除以

$18$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

$1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{2} = 1$

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