初级微积分示例

x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$

解题步骤 1

对

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去

4

$4$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用

$2$ 除以

$1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去

$4^{2}$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.1

从

$4^{2}$ 中分解出因数

$4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.2.1

从

$4 \cdot 1$ 中分解出因数

$4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.4

用

$4$ 除以

$1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.4.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.4.2.2

从

$0$ 中减去

$4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

${(x + 2)}^{2} - 4$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4$

解题步骤 2

在方程

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ 中，用

${(x + 2)}^{2} - 4$ 代替

$x^{2} + 4 x$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4 + 2 y + y^{2} = 9$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上

$4$ 的方法来将

$- 4$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} + 2 y + y^{2} = 9 + 4$

解题步骤 4

对

$2 y + y^{2}$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

将

$2 y$ 和

$y^{2}$ 重新排序。

$y^{2} + 2 y$

解题步骤 4.2

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 4.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.4

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 4.5

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.5.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 4.5.2.2

从

$0$ 中减去

$1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 4.6

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

${(y + 1)}^{2} - 1$ 。

${(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 5

在方程

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ 中，用

${(y + 1)}^{2} - 1$ 代替

$2 y + y^{2}$ 。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 9 + 4$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上

$1$ 的方法来将

$- 1$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9 + 4 + 1$

解题步骤 7

化简

$9 + 4 + 1$ 。

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解题步骤 7.1

将

$9$ 和

$4$ 相加。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13 + 1$

解题步骤 7.2

将

$13$ 和

$1$ 相加。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 14$

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