初级微积分示例

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$

解题步骤 1

对 $x^{2} + 4 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 1.4.2.1.1.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 2)}^{2} - 4$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ 中，用 ${(x + 2)}^{2} - 4$ 代替 $x^{2} + 4 x$ 。

${(x + 2)}^{2} - 4 + 2 y + y^{2} = 9$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} + 2 y + y^{2} = 9 + 4$

解题步骤 4

对 $2 y + y^{2}$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

将 $2 y$ 和 $y^{2}$ 重新排序。

$y^{2} + 2 y$

解题步骤 4.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 4.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 4.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 4.5.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 4.5.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 4.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 。

${(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ 中，用 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 代替 $2 y + y^{2}$ 。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 9 + 4$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $1$ 的方法来将 $- 1$ 移到等式右边。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9 + 4 + 1$

解题步骤 7

化简 $9 + 4 + 1$ 。

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解题步骤 7.1

将 $9$ 和 $4$ 相加。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13 + 1$

解题步骤 7.2

将 $13$ 和 $1$ 相加。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 14$

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