初级微积分示例

f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

解题步骤 1

将

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ 写为等式。

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

解题步骤 2

因为

$x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

解题步骤 3

从等式两边同时减去

$7$ 。

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

解题步骤 4

配方。

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解题步骤 4.1

将

$- 3 x$ 和

$2 x^{2}$ 重新排序。

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

解题步骤 4.2

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

解题步骤 4.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

解题步骤 4.4

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$d = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 4.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{3}{4}$

解题步骤 4.5

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.2.1.2

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$e = 0 - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.5.2.2

从

$0$ 中减去

$\frac{9}{8}$ 。

$e = - \frac{9}{8}$

解题步骤 4.6

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ 。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

解题步骤 5

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上

$\frac{9}{8}$ 。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

解题步骤 5.2

要将

$- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{8}{8}$ 。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

解题步骤 5.3

组合

$- 7$ 和

$\frac{8}{8}$ 。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

解题步骤 5.4

在公分母上合并分子。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

将

$- 7$ 乘以

$8$ 。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

解题步骤 5.5.2

将

$- 56$ 和

$9$ 相加。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

解题步骤 6

将

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

解题步骤 6.2.1.2

用

${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ 除以

$1$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.1.2

乘以

$- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{47}{8}$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将

$2$ 乘以

$8$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

解题步骤 7

因数。

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解题步骤 7.1

要将

$\frac{y}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{8}{8}$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

解题步骤 7.2

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$16$ 的形式。

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解题步骤 7.2.1

将

$\frac{y}{2}$ 乘以

$\frac{8}{8}$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

解题步骤 7.2.2

将

$2$ 乘以

$8$ 。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

解题步骤 7.3

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

解题步骤 7.4

将

$8$ 移到

$y$ 的左侧。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

解题步骤 7.5

重新排序项。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

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